Polynomes-ExO

[invitee60af3c1]

Bonjour, !

J'ai un exercice pour la rentrée :





Pour la question 1,

Je voulais montrer que P(/z)=/P(z) ( / est est le conjugué)

mais ça m'a l'air assez compliqué .. une alternative ?
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[GuYem]

Salut

Pour montrer que le polynome est à coefficients réels il faudrait montrer que



et non pas



Cela parait un peu compliqué ici.
Peut-être tu peux essayer par récurrence de montrer P_n est réel. C'est facile pour P_0 et on doit pouvoir factoriser P_n pour voir apparaitre P_{n-1}

[invitec314d025]

Ou calculer directement les coefficients avec le binôme de Newton.
Décidément il est à la mode cet exercice, même si on a à chaque fois une variante un peu différente.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Décidémént, le temps que je me décide à poster, matthias a encore frappé...

Il suffit effectivement de développer:

et il suffit de vérifier que le coefficient est nul pour k=0 ou 2 mod 4, égal à +/-2i pour k=1 ou 3 mod 4.

Après, le degré et le coeff dominant de P, ça vient tout seul.

Pour la suite, il faut que je regarde.

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee60af3c1]

Bonjour,

Décidémént, le temps que je me décide à poster, matthias a encore frappé...

Il suffit effectivement de développer:

et il suffit de vérifier que le coefficient est nul pour k=0 ou 2 mod 4, égal à +/-2i pour k=1 ou 3 mod 4.

Après, le degré et le coeff dominant de P, ça vient tout seul.

Pour la suite, il faut que je regarde.

-- françois

aie aie j'ai peur de ne pas comprendre quand ça parle de modulo..J'ai pas fait arythmetique en terminale et cette année en PCSI on en a toujours pas parlé..

[invitee60af3c1]

en faite là il faut que je montre que 2iPn est un imaginaire pur comme ça Pn est un Reel ?

[invitec314d025]

Pn est un polynôme, pas un réel ni un complexe.
Ce sont les coefficients qui doivent être réels.

[invitee60af3c1]

ah oui zut..
dans le cas k=0, 2iPn est nul donc Pn est le polynome nul
dans le cas k=1, on simplifie par 2i mais c'est dans les autres cas que je ne voit pas comment on fait.

[invitee60af3c1]

Bon, j'ai :
2iPn=\sum_{k=0}^{2n+1}C(2n+1,k ) X^{2n+1-k}(i^k\,-\,(-i)^k)

et je fait le constat que :
i^0=0 donc pour k =0--->terme nul
i^1=i donc pour k=1--->on simplifie par 2i et on a Pn a coeff reel
i^2=-1 donc pour k=2--> terme nul
i^3=-i donc pour k=3, ---> on simplifie par 2i
i^4=1 donc pour k=1--->terme nul

mais comment mettre ça en forme?

[invite6de5f0ac]

Bon, j'ai :
2iPn=\sum_{k=0}^{2n+1}C(2n+1,k ) X^{2n+1-k}(i^k\,-\,(-i)^k)

et je fait le constat que :
i^0=0 donc pour k =0--->terme nul
i^1=i donc pour k=1--->on simplifie par 2i et on a Pn a coeff reel
i^2=-1 donc pour k=2--> terme nul
i^3=-i donc pour k=3, ---> on simplifie par 2i
i^4=1 donc pour k=1--->terme nul

mais comment mettre ça en forme?

C'est bon, tu as vu le truc! Pour "mettre au propre": ta somme comporte des termes en [i^k - (-i)^k], pour k variant de 0 à 2n+1.

Le "modulo", c'est une manière de dire que si:

k est multiple de 4, le terme est nul;
k est un multiple de 4, plus 2 (k = 4p+2), pareil;
k est un multiple de 4, plus 1 ou plus 3 (k = 4p+1 ou 4p+3), on simplifie par 2i.

Ca ne dépend que du reste de (k divisé par 4), parce que i⁴ = 1 peut être mis en facteur partout.

Et en fait, on se contrefiche du nombre de termes de la somme (multiple de 4 ou pas), il suffit de s'apercevoir que les termes non nuls sont toujours imaginaires purs. Le coup de les regrouper par 4, c'est pour être bien sûr de na pas en oublier au passage.

-- françois

[invitee60af3c1]

Merci !

J'ai finie la question 2)a), L'ensemble des solutions c'est Cotan kPi/N , k€0..N-1..

Mais pour trouver les racines apres ? c'est quoi le lien ?

[invitee60af3c1]

oki les racines sont cotan k*pi/2n+1, k€0..2n..
comment montrer qu'ils sont deux a deux opposer ?