polynome irreductible

[inviteb1ef7d0e]

bonjour ,
j'ai f(X)= X^3+X^2-2x-1
montrer que f est irreductible sur Q (on pourra reduire mod p)

je me disais que 1 et -1 , seules racines possibles de f sur Z n'annulaient pas f et donc f est irreductible sur Q car de degré 3 . Mais alors pourquoi reduire mod p et surtout ca veut dire quoi reduire mod p ?

merci.
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[martini_bird]

Salut,

1 et -1 racines de f???

Sinon, la réduction modulo d'un polynôme de est simplement le polynôme où est l'image de par la projection .

En particulier, si ne divise pas et si est irréductible dans , alors est irréductible.

Cordialement.

[inviteb1ef7d0e]

merci Martini .

pour 1 et -1 racine , je voulais dire que si f admettait une racine dans Q , ce serait forcément 1 ou -1 car si p/q est une racine on doit avoir p/a0 et q/an , comme ici a0=-1 et an =1 on a p/q=1 ou -1 , or f(1) et f(-1) ne sont pas nuls donc 1 et -1 ne sont pas racines .

Donc ici , je vois pas trop l'intéret de reduire modulo p , mais bon , en admettant que je le reduise modulo p , pour montrer l'irreductibilité , je dois calculer f(i) pour tout i dans Fp et vérifier que c'est non nul ou il y a t-il une autre méthode?

Merci .

[invite6b1e2c2e]

Ici, vu les coefficients, tu réduis modulo 2.
Ton polynôme s'écrit alors Q(X)=X^3 + X^2 +1, et si ce n'est pas irréductible modulo2, ça a au moins une racine.
Or il est facile de voir que
Q(0)=1=Q(1). (En fait, modulo 2, x = x^2, et donc Q= 1)
Donc Q est irréductible modulo 2, donc P est irréductible dans .
Effectivement, ici, le critère d'Eisenstein est aussi efficace.
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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb1ef7d0e]

merci beaucoup pour les réponses , mais je crois que eisenstein ne marche pas ici .j'ai justement une question a propos d'eisenstein ; quand on ne peut pas l'utiliser pour P(X) j'ai vu plusieurs fois qu'on l'utilisait pour P(X+1) et si ca marche P(X) est irreductible ourquoi P(X+1) irr => P(X) irr et est-ce que ca marche pour tout P(X+i)?

[GuYem]

Je trouve ta première réponse satisfaisante : irred sur Q et irréd sur Z c'est pareil vu que le contenu est 1. Les seules racines possibles sur Z sont +/-1 comme tu l'as dit ; hors elles ne sont pas racines ! Donc il est irréductible puisque de degré 3.

Pour ton autre question ; oui ça marche pour tout i.