rarete des fonctions continus

[invite5ad8e560]

Bonsoir,
Quelle sens peut on donnée a l'affirmation suivante:

' les fonctions continues sont "RARES" dans l'espaces des fonction'.

merci
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[inviteab2b41c6]

Salut,
il y'a autant de fonctions continues de R dans R que de nombres réels.
Il y'a 2^c fonctions possibles de R dans R, sachant que R est le nombre de nombre réels.
Je pense que ca vient de là.
A+

[invitedf667161]

Aucun de simple que je connaisse. Il faudrait mettre une mesure sur l'espaces des fonctions continues par exemple mais ça me semble coton.

Par contre si tu changes de topologie sur le même espace alors là ca peut en avoir un de sens, une sorte de comparaison.
Exemple si tu prends comme ensemble de départ un espace topo X quelconque, lui on n'y touche pas. A l'arrivée tu mets R que tu munis d'abord de la topo habituelle et ensuite de la topo où toutes les parties sont ouvertes.
Alors il y a beaucoup moins de fonctions continues dans le deuxième cas que dans le premier.

[invite6b1e2c2e]

Tu peux aussi utiliser la rareté topologique !
L'ensemble des fonctions continues est un sous espace fermé de L^infini. Son complémentaire (dans L^infini) est donc un ouvert et il facile de voir que c'est dense dans L^înfini. Du coup, c'est effectivement petit...

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Tu peux aussi utiliser la rareté topologique !
L'ensemble des fonctions continues est un sous espace fermé de L^infini. Son complémentaire (dans L^infini) est donc un ouvert et il facile de voir que c'est dense dans L^înfini. Du coup, c'est effectivement petit...

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rvz

J'aimerais bien que tu précises. L^infini c'est quoi ? Tu travailles sur quels esapces topologiques au départ et à l'arrivée et comment tu vois la densité du complémentaire ?

[inviteab2b41c6]

L^infini c'est probablement l'ensemble des fonctions essentiellement bornées.

[invite6b1e2c2e]

L^infini c'est probablement l'ensemble des fonctions essentiellement bornées.

Yep !

L^infini, c'est l'ensemble des fonctions mesurables, telles que il existe un k >0, tel que la mesure de l'ensemble des qui satisfont |u(x)|>k est nulle.

En fait, c'est un espace de Banach pour la topologie induite par cette norme (à condition de quotienter les fonctions mesurables par la relation d'ordre "égalité si égalité presque partout"). Il est facile de voir que l'ensemble des fonctions continues est fermé pour cette topologie. Donc son complémentaire est ouvert.
De plus, quand tu considères une fonction continue f, tu peux trouver une suite de fonctions discontinues f_n qui tendent vers f pour cette norme.
Par exemple, tu peux prendre
sinon

Ainsi, le complémentaire est dense, et donc on en déduit que les fonctions continues sont rares, dans un sens topologique, au sens de Baire pour être plus précis.

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rvz

[invitedf667161]

Je suis d'accord avec ce que tu dis rvz. D'ailleurs je n'avais jamais vu cette chose et c'est joli ! Merci.

Seulement cela suppose qu'on a déjà une topologie sur les fonctions continues ; ici celle héritée de la mesure de Lebesgue sur R(^n) et de la norme infinie. Ce n'est pas anodin.

Que peut-on dire si on parle seulement des applications continues de X vers Y deux espaces topo quelconques ? Y-a-t-il dans ce cas général une notion de rareté des fonctions continues qui soit envisageable ?

[invite6b1e2c2e]

Je ne suis pas sûr de moi, mais je pense qu'on pourrait considérer la topologie suivante sur C(X,Y), que je définis par la base de voisinages V_a suivante :
- Si Y est un espace vectoriel topologique :
Soit U_a une base de voisinages de 0 dans Y.
Alors V_a est l'ensemble des fonctions f telles que f(X) est inclus dans U_a. On définit V_a comme base de voisinage de 0, puis on définit les bases de voisinage des autres points (de C(X,Y)) par linéarité.
- Si Y est juste un espace métrique (pas forcément vectoriel), muni d'une distance dy ;
alors on peut munir C(X,Y) de la distance suivante

D'où une certaine topologie.

Bon, cela dit, je ne pense pas qu'on puisse avoir de notion intéressante sur un espace juste métrique.
En effet, prends Y = {0,1} muni de la topologie grossière, où, ce qui revient au même, de la distance dy(x,y) = 0 si x=y, 1 sinon.
Alors d(f,g) = 0 ssi f=g, et si f est différent de g,
d(f,g) =1.
De plus, dès que X est un espace connexe, comme chaque singleton est à la fois ouvert et fermé dans Y, les fonctions continues sont les fonctions constantes.
Du coup, certes, il n'y en a pas beaucoup, mais, si X={0}, elles sont toutes continues ! et l'affirmation du début du thread est fausse.
Pour les espaces vectoriels topologiques, c'est beaucoup moins clair : je pourrais recommencer grosso modo la même chose. Y = R, avec la topologie grossière. X= {0}. Toute fonction est continue.
Cela dit, je crois me souvenir qu'il y a des conditions supplémentaires dans la définition d'espaces vectoriels topologiques : Par exemple, l'addition doit être continue, et la multiplication par un scalaire (Est ce que je me trompe ?). Et dans ce dernier exemple, ce n'est pas le cas. Alors, si quelq'un a quelque chose pour aller un peu plus loin dans ce cas là ...

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rvz