Equation aléatoire

[invited0c83a64]

Bonjour à tous,

J'aurais voulu savoir si il existait une méthode générale pour résoudre le type d'équation décrit ci-dessous.

d²s/dt²= z(t).f(t,x) + (1-z(t)).g(t,x)

où
z(t) est une variable aléatoire valant soit 1 soit -1 à l'instant t.
f(t,x) et g(t,x) sont deux fonctions arbitraire mais différentes,
par exemple, f(t,x) = -kx et g(t,x) = 0.

Le résultat recherché est la distribution de probabilité de s selon x et t.

Oui, je sais, ça à l'air un peu nébuleux et inutile comme ça, mais bon, si quelqu'un connait la solution...
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[invited0c83a64]

C'est d'autant plus nébuleux que je me rends compte que j'ai mal formulé mon équation. Il faut remplacer 's' par 'x(t)'. Et donc si x représente la position d'un objet, le résultat recherché est la probabilité p(x,t) que l'objet se trouver en x à l'instant t.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

C'est d'autant plus nébuleux que je me rends compte que j'ai mal formulé mon équation. Il faut remplacer 's' par 'x(t)'. Et donc si x représente la position d'un objet, le résultat recherché est la probabilité p(x,t) que l'objet se trouver en x à l'instant t.

En clair, tu veux résoudre :

où et sont quelconques,
avec un processus stochastique dont l'espace d'états est et sur lequel on ne sait rien.

Tu es conscient de la difficulté de ton problème ?

A mon avis, non.

[invited0c83a64]

C'est exactement ça.
Je suis conscient de la difficulté du problème mais je me demandais si un tel problème n'aurait pas déjà été traité.

Dans le cas où f et g sont des constantes, je pense que la solution est triviale mais ça se complqiue dès que f et g dépendent de x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Re,

Ce que tu as écrit peut correspondre (sous conditions) aux PDMP (Piecewise Deterministic Markov Processes).

Dans ce cadre serait la valeur du mode à l'instant . Lorsque le mode vaut , l'évolution déterministe est régie par :


et lorsque le mode vaut 1, l'évolution déterministe est régie par :


Bien sûr, il y a des contraintes pour que ce soit markovien, bien défini, etc.

Une difficulté du problème que tu poses est qu'on ne sait pas résoudre les E.D. considérées dans le cas général (sans aléa).

Tu peux chercher un article de Davis de 84 je crois. C'est l'article dans lequel il introduit ces processus pour la première fois.
Plus simplement, il y a les processus de Vermes (PLMP).

Dans tous les cas, rien de trivial.


EDIT
L'article de Davis : Piecewise deterministic Markov Processes : a general class of non diffusion stochastic models (1984)

[invited0c83a64]

Merci Romain, je vai essayer de trouver cet article.
Génial ce site finalement...