Application des équadiffs.

**Bleyblue** · 01/05/2005, 12h25

Bonjour,

J'ai à nouveau un problème avec un exercice d'applications des équations différentielles. Voilà :
Un récipient cylindrique de hauteur 12 cm et de contenance 1 litre est rempli d'eau. Un trou dans la base laisse l'eau s'écouler avec un débit de 3 $\text{[math]}$ cm³/s ou h(t) est la hauteur de l'eau dans le récipient à l'instant t. En combien de temps le récipient se vide il ?

Voici la résolution (correcte) :
$\text{[math]}$
V = 1000 cm³
V = base . hauteur = B . h -> B = $\text{[math]}$

Jusqu'ici ça marche, c'est maintenant que je ne comprend pas :

$\text{[math]}$

On intègre l'équadiff et ça donne :
$\text{[math]}$ et comme h = 12 ça donne t = $\text{[math]}$ = 192 secondes

Alors il y a deux choses que je ne comprend pas :
1)

$\text{[math]}$

Comment se fait il qu'on puisse écire ça ?
Pour moi :
$\text{[math]}$

Et ça voudrait donc dire que $\text{[math]}$

?

2)
$\text{[math]}$

Pour moi on ne peut pas remplacer h par 12 car il s'agit de h(t) or h(moment ou le récipient est vide) = 0 ...

Malgré cela je suis sûr que la réponse est bien de t = 192 secondes ...

Voilà, si vous avez une idée sur l'origine de ces deux bizarreries ...

Merci

invitec314d025 · 01/05/2005, 12h50

v = B.h donc dv.dt = B.dh/dt
ça ne pose pas de problème.
Par contre pourquoi tu n'as pas dv/dt = -3sqrt(h) ?
Le volume baisse donc la dérivée doit être négative

**Bleyblue** · 01/05/2005, 13h02

Envoyé par matthias

v = B.h donc dv.dt = B.dh/dt
ça ne pose pas de problème.

Ah ben oui, la base elle est constante. C'est malin ...

Envoyé par matthias

Par contre pourquoi tu n'as pas dv/dt = -3sqrt(h) ?
Le volume baisse donc la dérivée doit être négative

C'est vrai, mais ça ne pose pas problème, on tombe sur la même réponse au signe près mais comme un temps n'est pas négatif on prend la valeur absolue je pense.

Sinon il y a encore le problème avec la hauteur à la fin.
Note que ça pourrait être plausible si h(t) représentait la différence de hauteur entre la hauteur de l'eau et la hauteur du récicipient mais ...

Merci !

invitec314d025 · 01/05/2005, 13h10

de la manière dont tu as présenté la solution, cela correspond à partir d'un récipient vide et à calculer le temps au bout duquel h = 12.

Sinon tu prends dh/dt = - 36/1000 sqrt(h)
d'où sqrt(h) = - 18/1000.t + c
pour t=0, h=12 donc c = sqrt(12)
et donc h = 0 => t = 1000/18.sqrt(12)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Bleyblue** · 01/05/2005, 13h22

Eh oui ça marche !
C'est super merci beaucoup !

J'arriverai peut être à voir un peu plus clair dans ces exercices, un jour ...

invitee6dbc8ad · 01/05/2005, 13h56

Envoyé par Bleyblue

Eh oui ça marche !
C'est super merci beaucoup !

J'arriverai peut être à voir un peu plus clair dans ces exercices, un jour ...

Je l'espere pour toi (et pour moi aussi!) je ne comprends rien à ces equations!!

tu as l'air 'etre plus en avance que moi car tu sembles comprendre quelques trucs!

@pluche!

**Bleyblue** · 02/05/2005, 13h36

bah résoudre les éuadiff's, c'est fort simple je trouve (encore que je n'ai vue que celles à variables séparées et les homogènes linéaires du second ordre).

Par contre les problèmes ça j'ai plus dur, c'est plutôt de la physique et j'ai beau être "bon" en maths, la physique, c'est tout autre chose ...

invitec314d025 · 02/05/2005, 14h00

Envoyé par Bleyblue

bah résoudre les éuadiff's, c'est fort simple je trouve (encore que je n'ai vue que celles à variables séparées et les homogènes linéaires du second ordre).

Par contre les problèmes ça j'ai plus dur, c'est plutôt de la physique et j'ai beau être "bon" en maths, la physique, c'est tout autre chose ...

Si on veut. Il y a somme toute assez peu d'équations différentielles que l'on sait résoudre de manière théorique. Il n'y pas de méthode générale sauf pour des équations de forme déterminée (encore qu'on puisse faire des choses intéressantes notamment avec les séries entières).
Pour les problèmes de physique, c'est légèrement différent. Soit le modèle choisi donne une équa diff que l'on sait résoudre et ça se réduit à un problème de maths, soit on l'aborde de manière simulatoire, soit on fait des hypothèses simplificatrices pour pouvoir la résoudre dans des cas particuliers, mais ça demande un bon "sens physique". Le probléme du pendule pour des petites oscillations est assez emblématique.

**Bleyblue** · 02/05/2005, 14h47

Envoyé par matthias

Il y a somme toute assez peu d'équations différentielles que l'on sait résoudre de manière théorique. Il n'y pas de méthode générale sauf pour des équations de forme déterminée

Oui, un peu comme pour le calcul de primitives, quoique la c'est plus vatse sans doute ...

Envoyé par matthias

mais ça demande un bon "sens physique"

Ce que je ne possède visiblement pas . Note que jusqu'a présent, je n'ai pas rencontré grand monde qui l'ai (hormis les physciens bien sûr)

invited927d23c · 06/05/2005, 18h45

Bonjour,

J'ai regardé les calculs et je comprend pas quelque chose. t= $\text{[math]}$ =192 s, je vois pas comment on arrive à ce résultat car moi je trouve ~288.67 s?

Je me suis surement trompé car je ne sais pas résoudre des équations différentielles.

invitec314d025 · 06/05/2005, 18h54

Mais avec 18 au lieu de 12, ça marche mieux.

invited927d23c · 06/05/2005, 22h05

Oui en effet avec 18 ça colle.
Mais je ne comprend pas pourquoi Beyblue à toujours utilisé 12 (la hauteur du cylindre)?? De plus d'où sort ce 18, 12 c'est beaucoup plus logique.

Je m'excuse de posez des questions sur des choses qui peuvent paraître évident pour d'autres, mais moi j'ai beau regardé les calculs, je les comprend qu'à moitié.

invited927d23c · 07/05/2005, 13h45

Envoyé par matthias

de la manière dont tu as présenté la solution, cela correspond à partir d'un récipient vide et à calculer le temps au bout duquel h = 12.

Sinon tu prends $\text{[math]}$

Jusqu'à là je comprend

Mais je comprend pas comment on passe de l'équation précédente à celle ci:

Envoyé par matthias

d'où $\text{[math]}$

Puis ça je comprend de nouveau si j'admet l'équation d'avant que je comprend pas :

pour t=0, h=12 donc c = sqrt(12)
et donc h = 0 => t = 1000/18.sqrt(12)

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on passe de cette équation à l'autre?

**Bleyblue** · 07/05/2005, 13h56

Tu as :

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

Et donc en remplaçant :

$\text{[math]}$
Tu intègres l'équadiff et :

$\text{[math]}$

si t = 0, h = 12, C = $\text{[math]}$

Et comme l'on cherhe t si h = 12 ça donne :

$\text{[math]}$
et tu isoles t.

Ca va mieux ?

**Bleyblue** · 07/05/2005, 14h01

Ok en fait c'est la résolution de l'équadiff qui pose pb.
Tu es d'accord avec :

$\text{[math]}$

Tu sépares les variables :

$\text{[math]}$

Et suite tu intègres membre à membre :

$\text{[math]}$

...

invite8cc9db4e · 07/05/2005, 14h02

Envoyé par matthias

Sinon tu prends dh/dt = - 36/1000 sqrt(h)
d'où sqrt(h) = - 18/1000.t + c

Bonjour,

dh/dt = - 36/1000 sqrt(h)
==> dh/sqrt(h)= - 36/1000 dt

==> $\text{[math]}$
en intégrant terme à gauche puis à droite :
$\text{[math]}$
d'où
$\text{[math]}$

pour t=0, h=12 donc c = sqrt(12)
et donc h = 0 => t = 1000/18.sqrt(12)

pas à pas :
1/ on détermine c : t = 0 ==> $\text{[math]}$
or h(0)=12 d'où $\text{[math]}$

2/ l'équation liant h à t est donc :
$\text{[math]}$

3/ si on veut le temps t0 nécessaire tel que h(t0)=0, on a :
$\text{[math]}$
donc :
$\text{[math]}$
et t0=blablabla

bonne journée

invited927d23c · 07/05/2005, 16h55

Meci pour tous votre aide. J'ai encore jamais fait de calcul différentiel à l'école, mais j'essaye d'apprendre tous seul car ça m'intèresse. Même après toutes vos explications je n'ai pas encore compris un petit passage.

Ca je comprend:

$\text{[math]}$

Tu sépares les variables :

$\text{[math]}$

Et suite tu intègres membre à membre :

$\text{[math]}$

Mais après je ne comprend plus, Topov à bien expliqué, mais je comprend pas comment on arrive à ce résultat en intégrant. Car moi si je fait le calcul je trouve un autre résultat (d'ailleur 192 secondes me paraîssent très long pour laissé écouler seulement un litre):

$\text{[math]}$
Je regarde mon tableau des primitives usuelles, et je trouve:
$\text{[math]}$
Où est l'erreur dans mon calcul? Je suppose qu'on ne peut pas faire ce que j'ai fait parcequ'il s'agit d'un intégral indéfini.

Je ne voit pas comment il est possible de calculé le temps d'écoulement sans prendre en compte la taille du trou (car je suppose qu'avec un très grand trou l'eau s'écoule beaucoup plus vite qu'avec un petit trou, ou je me trompe?), et l'apesanteur (l'eau devrait s'écouler plus vite sur Terre que sur la lune).

Merci pour vos explications.

**Bleyblue** · 07/05/2005, 17h24

Envoyé par Witten

$\text{[math]}$
Je regarde mon tableau des primitives usuelles, et je trouve:
$\text{[math]}$

Ahhhhhhhh non, horreur

!

$\text{[math]}$

Il n'y a pas de ln.
C'est uniquement :

$\text{[math]}$

Ici c'est une racine carré ...

**Bleyblue** · 07/05/2005, 17h37

Envoyé par Witten

(car je suppose qu'avec un très grand trou l'eau s'écoule beaucoup plus vite qu'avec un petit trou, ou je me trompe?), et l'apesanteur (l'eau devrait s'écouler plus vite sur Terre que sur la lune).

Tu as raisons, mais ici on nous précise le débit dans l'énoncé. Le débit c'est la variation de volume au cours du temps, donc c'est un peu comme si on nous précisait la taille du trou ...

Quant à l'apesanteur on n'en tient pas compte ici, ce n'est qu'un simple exercice destiné à familiariser les étudiants avec les équations différentielles ...

invited927d23c · 07/05/2005, 18h51

Merci beaucoup pour toutes les explciations, je vient de comprendre

. J'avais fait une énorme erreur avec l'intégral.

Se qui me genaît aussi c'est qu'on exprime le débit en fonction de la hauteur de l'eau dans le cylindre. Au début je voyait pas comment se serait soluble vu qu'on ne connaît pas la fonction qui le lie le temps et la hauteur de l'eau dans le cylindre. Mais finalement on se fiche de l'allure de la courbe vu qu'on connaît la hauteur de l'eau au début (h=12 et t=0), et à la fin (h=0, t=?), et qu'il nous manque seulement le temps à la fin.
De plus l'apesanteur et déjà pris en compte dans le débit.

Je vient enfin de comprendre

.

PS : Quelqu'un n'aurait pas d'autres exercices du même genre?

**Bleyblue** · 07/05/2005, 20h49

Envoyé par Witten

PS : Quelqu'un n'aurait pas d'autres exercices du même genre?

Si moi j'en ai, une dizaine au moins. Je pourrais te faire parvenire ça ...

invited927d23c · 07/05/2005, 21h12

Se serait gentil Bleyblue si tu pouvait me les faire parvenir, comme ça je pourrait déjà m'entraîner à resoudre ce genre d'exercices

.
Si tu veux me les envoyer par mail (je vois pas d'autres moyens) envois les stp ********* .
Si quelqu'un connaît un site avec de bons exercices corrigé je suis preneur.

Pour votre tranquilité, préférez les mp pour communiquer votre adresse électronique.

martini_bird.

inviteb4d8c3b4 · 07/05/2005, 21h51

Heu, moi suis pas fortiche et je trouve une base circulaire de rayon 5.15cm et je trouve un temps "t" de 12s.

Entre-nous, pour qu'1 litre s'écoule à travers une section de 5cm, 12s me semble plosible par contre des 34.5s, des 192s ou encore des 288s me semblent impossible car je met bien moins de temps pour vider ma bouteille d'Evian de 1.5L a travers une section d'environ 3cm.

Soyons réaliste !

invitec314d025 · 07/05/2005, 21h54

Envoyé par jeanmi66

Heu, moi suis pas fortiche et je trouve une base circulaire de rayon 5.15cm et je trouve un temps "t" de 12s.

Entre-nous, pour qu'1 litre s'écoule à travers une section de 5cm, 12s me semble plosible par contre des 34.5s, des 192s ou encore des 288s me semblent impossible car je met bien moins de temps pour vider ma bouteille d'Evian de 1.5L a travers une section d'environ 3cm.

Soyons réaliste !

Qui a dit que le liquide s'écoulait par la base ?
Un petit trou au fond du récipient fait l'affaire.

inviteb4d8c3b4 · 07/05/2005, 22h37

SVP alors pour moi, quel doit être le résultat de "t" ?

Merci

inviteb4d8c3b4 · 09/05/2005, 21h59

Alors, qqu'un peut me donner le résultat à trouver SVP ?

Merci d'avance.

invited927d23c · 09/05/2005, 22h03

Le résultat à trouvé est t=192 secondes.

inviteb4d8c3b4 · 09/05/2005, 22h07

Super, merci beaucoup

A+

inviteb4d8c3b4 · 16/05/2005, 14h46

Si je pars du débit Q:

Q= 3sqrt(h)

Plutôt que de transformer Q en: PI.R².dh/dt

Ne puis-je pas le trouver en fesant:

dv/dt = 3sqrt(dh/dt) ou un truc comme ça, je veut dire sans toucher à dv/dt ?

Merci de motiver vos réponses car faire comprendre ce qui est faux et pourquoi, aide à faire comprendre ce qui est vrai.

A+

**Bleyblue** · 16/05/2005, 15h14

Envoyé par jeanmi66

Plutôt que de transformer Q en: PI.R².dh/dt

Ne puis-je pas le trouver en fesant:

dv/dt = 3sqrt(dh/dt) ou un truc comme ça, je veut dire sans toucher à dv/dt ?

On ne "transforme" pas.
En fait tu utilises la relation : $\text{[math]}$
Et la tu tu dois te débrouiller pour exprimer dt en fonction de dh de manière à pouvoir intégrer.
dv/dt c'est Q et dv/dh je pense que la seul manière de le trouver c'est celle ci dessus ...

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