Problème d'application des équadiffs

[Bleyblue]

Bonjour,

Voici un problème : " Une citerne remplie d'eau se vide avec un débit proportionnel à chaque instant à ou v(t) représente le volume d'eau présent à l'instant t. Si vo représente le volume initiale et k la constant de propotionnalité, au bout de combien de temps exprimé en fonction de vo et k, 33% du volume initiale se sera il écoulé ?"

Alors, voilà mon raisonnement :

Comme le débit par définition c'est la variation de volume au cours du temps eh bien:



Equation différentielle élémentaire, et donc en séparant les variables et en intégrant membre à membre :



Maintenant, comme v est le volume présent à l'instant t et que l'on cherche au bout de combien de temps il ne reste plus que 30% du volume moi je dirais que :



L'ennui c'est que dans le corrigé je trouve, non pas 1,673 mais 0,326. Je ne vois pas du tout d'ou cela sort

La seule faille possible dans mon raisonnement c'est le fait que j'ai "laisser tomber" la constante additive (je ne savais pas trop quoi en faire alors ... )

Pensez vous que ce soit la source de l'erreur ? Ces constantes additives dans les équadiffs moi je ne sais jamais quoi en faire ...

Merci
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[invite440f64b5]

tu détermine ta constante additive avec les conditions initiales.

ce qui ne va pas ici , c'est que ta résolution nous dit que si t=0 alors v=0 alors alors qu'à t=0 v=v0

donc logiquement, C=-2/k*v0

ça devrait marcher vu que tu trouve un résultat supérieur au bon résultat.

[invite56acd1ad]

Je pense que l''équation différentielle est plutôt : .

En effet, ton équation te donne : . Or v(t) est le volume présent à l'instant t, donc il diminue au cours de la manip. Par suite, t diminue aussi...

Donc si on part sur : .
La solution est : .
De plus, pour t=0, on a v(t)=v₀. On en déduit alors que .
Puis, on continue comme tu as dis : , ce qui numériquement donne : .

C'est ca ?

[invite440f64b5]

qui a dit "k>0"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56acd1ad]

Certes, k n'est pas nécessairement positif.

Mais si tu acceptes que k<0, alors l'équation de Zazeglu est valable mais ne donne pas le résultat en 0.326 comme il le souhaite, mais une constante qui sera forcément négative (à savoir, on trouve ). C'est pour ca que je pense que k>0. Mais bon, on sait jamais...

[Bleyblue]

En effet :

si t = 0


->

->

Et en valeur absolue :

merci bcp

C'est toujours comme ça que je doit procédé au fait, pour déterminer la constante ? Me baser sur les conditions initialies ?

Merci encore !

[invite56acd1ad]

Oui, lors de la résolution d'une équation différentielle, tu gardes tout d'abord la forme générale de la solution (avec les constantes (additives ou mutliplicatives)), puis à l'aide des conditions initiales tu détermines la (les) constante(s) pour trouver la solution.

[Bleyblue]

Oulà, ça a été vite, je n'avais vu que le premier message de scott74.

Mais grâce à sa remarque tout va bien merci

[Bleyblue]

puis à l'aide des conditions initiales tu détermines la (les) constante(s) pour trouver la solution.

Ok,je prend bonnes notes

Merci !

[invite9c9b9968]

salut,

en fait c'est une bonne idée d'avoir en tête les conditions initiales, mais il y a mieux.

Le truc c'est que les équadiff linéaires du premier ordre ont une solution unique à condition fixée du type y(t0)=y0 . Or cette condition n'est pas nécessairement une condition initiale (ie avec t0=0).

Il se peut donc en physique que tu résolves une équadiff, et que pour déterminer la constante tu te bases non pas sur ce qui se passe à t=0, mais plutôt à un certain t0 donné : par exemple, si tu raisonne sur une vitesse, et qu'à l'origine cette vitesse est non-nulle, tu préféreras résoudre l'équadiff avec l'instant où la vitesse est nulle (c'est le cas, entre autres, pour les problèmes de tir en champ de pesanteur uniforme)

@+

julien

[Bleyblue]

Je vois.
En fait on pour déterminer ces fameuses constantes, on se réfère a un moment où on connais la valeur de y(t) c'est bien ça ?
Par exemple dans ce cas ci, on connais v(t) au moment t = 0 ...

Meci