Problème d'application de la dérivée

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai un petit ennui avec un pb d'application des dérivées.

J'ai un ballon sphérique, qui a l'instant t = 0 a un rayon de 30 cm. Il se dégonfle et son aire décroît à la vitesse de pi cm²/sec.

Je doit trouver le rayon après 1100 secondes.

Bon, si je ne me trompe pas on cherche :


Reste à trouver dr/dt ce qui me pose problème.

On a bien :

et donc :



avec :

(en dérivant la formule de l'aire latérale d'une sphère)

Mais l'ennui ce que si je remplace je trouve :
mais comme cela ne dépend pas du temps t ... je ne vois pas trop comment trouver r(t) à 1100 secondes

Pouvez vous m'aidez ?

Merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tout d'abord, n'exprime pas tes grandeurs dimensionnées tout de suite : dans la première équation, il aurait mieux valu mettre que 30 cm, et la vitesse aurait pu s'appeler plutôt que . Maintenant, tu te retrouves obligé de raisonner en cm et en s, et tu ne peux pas vérifier l'homogénéité de tes équations.
Bref, tu en arrives à l'équation différentielle (je te laisse te débrouiller avec les constantes). Ce n'est pas parce qu'il n'y a pas de t qui intervient directement que r ne dépend pas de t après résolution.
Bref, ton équation se résume à , c'est-à-dire (hop, la constante qui disparaît dans la manche). Donc tu trouves finalement un rayon en (avec plein de constantes de partout). Si c'est ton chapitre sur les équa diff, c'est bien, sinon tu peux dire directement que : ...

[Bleyblue]

Ah oui.
Mais alors :


et en intégrant je trouve donc :

et donc en isolant r :


comme t = 1100 :
ce qui ne me donne pas la bonne réponse (c'est à dire 25 cm, je la connais ... )

Merci

[invite88ef51f0]

et en intégrant je trouve donc :

Plus une constante !!! Je l'avais oubliée aussi, si ça peut te rassurer (d'un autre côté, j'avais vraiment fait le calcul avec les mains, donc comme un pied ).
Avec la constante, ça ira tout de suite mieux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah. Mais alors :


ce qui ne m'avance pas bcp plus

[Bleyblue]

Encore moins en fait car on ne connaît pas la constante. Mais normalement ça ne fait pas intervenir les équations différentielles ce problème donc ça m'étonne ...

[g_h]

Pourquoi parler d'intégrales et de dérivées ?

Aire de la sphere : 4*pi*r² avec r = 30 cm
L'aire décroit à pi cm²/s

Donc l'aire à un instant t est : A(t) = 4*pi*r² - pi*t
Soit Rf le rayon au bout de 1100 secondes

On a A(t=1100) = 4*pi*Rf²
Et A(t=1100) = 4*pi*30² - pi*1100

D'ou Rf = racinecarrée((4*pi*30² - pi*1100)/(4*pi))
Et on trouve bien 25 cm !

[Bleyblue]

Ah ben oui, je n'avais pas pensé à raisonner comme ça tient ...

Merci dis !

[invite88ef51f0]

C'est la méthode que je proposais à la fin de mon premier message...
Sinon, pour le problème de la constante, il suffit de regarder à t=0, et du coup on a: 4r²=t+4r₀². Puis ensuite, il suffit de corriger la faute de signe sur (je l'avais pas vue celle-là ) de rebidouiller les constantes qui se sont perdues, et on retrouve la même chose.

[Bleyblue]

Oké dac, merci bcp à vous deux