y'=y

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
en terminale S on introduit les équations différentielles, notamment par la plus simple d'entre elle:

y'=y y(0)=1

L'existence d'une solution n'est pas démontré, mais on fait la preuve de son unicité.
Notamment on prend 2 solutions y et z et on en fait le rapport que l'on dérive.
On arrive alors a l'unicité des solutions uniquement sur les composantes connexes du domaine de 1/z (ou 1/y), mais pas sur le domaine tout entier.

Une solution qui tombe un peu du ciel est de considérer y(x)y(-x) et de dériver. Notamment on montre que y(-x)y(x)=1 pour tout x ce qui montre la non nullité de y(x) pour tout x.

Je n'aime pas trop cette preuve, et j'ai donc décidé d'en chercher de nouvelles accessibles ou non par un lycéen en terminale S.

J'en ai notamment trouvé une très belle (sauf si erronée) mi analytique, mi topologique.
J'aimerai vous la soumettre afin d'avoir votre avis dessus, et faire un appel d'offre, afin d'en publier des nouvelles si cela vous intéresse.
Notamment, si certains ont des idées de généralisation de ma preuve pour une équation du type
y'=f(y) où f est non linéaire et réelle (le cas linéaire étant traité pour le cas particulier f=id).
Si ca vous tente...
-----

[inviteab2b41c6]

Je propose une démonstration qu'un élève de terminale ne peut surement pas comprendre, mais qui peut se modifier avec un peu de travail, pour que ce soit le
cas. Notamment, la majeure partie est compréhensible, et j'indiquerai la partie hors programme.


Soit g'=g et g(0)=1
On veut montrer qu'il n'existe aucun z tel que g(z)=0.
Raisonnons par l'absurde.
Soit Z l'ensemble des zéros de g.
Soit z un élément de Z.

alors g(z)=g'(z)=0
Notamment z est aussi un point critique de g.
Si z est un point critique alors z est
1-Soit un maximum.
2-Soit un mimimum.
3-Soit aucun des 2.
Sauf mention contraire, les inégalités notées strictement, seront non strictes.

Supposons sans pert de généralité que ce soit un maximum, alors
g(z+h)-g(z)>0 pour un h>0 suffisament petit et g(z)-g(z-h)>0
notamment g(z)=0 implique que g(z+h)>0 et g(z-h)<0
Notamment g(z+h)=g'(z+h)>0 et g(z-h)=g'(z-h)<0
notamment g' est négative avant z et positive après z.
Notamment g est décroissante avant z et croissante après z. Or z est un maximum, et ceci montre que z est un minimum. Donc z est un maximum et un minimum,

donc g est localement constante autour de z. Comme g(z)=0 cette constante est donc 0.



Partie purement topologique

Montrons alors que Z est ouvert:
Soit z un point de Z, notamment g est localement constante autour de z, il existe donc une boule de centre z et de rayon r qui reste dans Z. Donc Z est ouvert.

Montrons que Z est fermé:
Soit (zn) une suite d'éléments de Z qui converge vers un élément x de R, alors g(zn)=0 pour tout n. Notamment g(lim(zn))=g(x). Par la continuité (qui découle
de la dérivabilité) on a que lim(g(zn))=g(lim(zn))
g(zn)=0 pour tout n par définition, et donc lim(g(zn))=0=g(lim(zn))=g(x), donc g(x)=0 et x est un zéro de Z.
Z est donc fermé.

Montrons que Z est connexe:
Si |Z|<1 c'est trivial.
Sinon, prenons deux points a et b de Z.
g(a)=g(b)=0
Notamment, il existe c dans ]a,b[ tel que g(c)=0 par le théorème de Rolle (je crois?).
On peut également montrer le résultat autrement:
COnsidérons l'intégrale de a à b de g(x)dx, alors puisque g'=g, si je note G une primitive de g, on a que G=g+cte, en effet, en intégrant des 2cotés l'équation différentielle, on obtient le résultat. Notamment l'intégrale est nulle sur [a,b]. Il me semble que l'on doit voir en terminale que ca implique qu'il existe au moins un point ou la fonction s'annule entre a et b non? Ce qui prouve d'une autre manière le résultat.
Notamment entre 2 points de Z il existe encore un point de Z. On peut alors montrer par la continuité de g que g est nulle en fait sur tout [a,b] de part cette remarque. Ainsi, Z est connexe (en fait techniquement, on montre beaucoup plus que ca, on montre que Z est convexe, mais dans R c'est pareil...)

Z est fermé et ouvert et connexe, c'est donc soit l'ensemble vide soit R.
Si g(0)=1 alors Z n'est pas R, c'est donc l'ensemble vide.
(je voulais absolument mettre un peu de topo dans ma démo, j'en cherchais une depuis quelque temps justement, mais on peut faire de sorte qu'un élève de terminale comprenne aussi sans topologie)

Fin de la partie purement topologique



Supposons à présent que z ne soit pas un extremum.
Supposons alors que g' ne change pas de signe autour de z.
Supposons sans perte de généralité que g'>0 autour de z, alors g(z)=0=g'(z).
Si g'(z+h)>0 et g'(z-h)>0 pour un certain h>0 (strictement) alors g'(z+h)=g(z+h)>0 et g'(z-h)=g(z-h)>0 donc g est positive autour de z, et g(z)=0, ce qui signifie que z est un extremum local, ce qui est une contradiction.
Donc g' change de signe autour de z.
Supposons que g'(z+h)>0 et g'(z-h)<0.
Alors g(z+h)=g'(z+h)>0 et puisque g'(z+h)>0 g est croissante sur [z,z+h]
de même g(z-h)=g'(z-h)<0 et puisque g'(z-h)<0 g est décroissante sur [z-h,z]
Autrement dit, z est un extremum local, ce qui est encore une contradiction.

CQFD

J'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs.

J'ajoute que cette démonstration est un copier-coller de celle que j'ai déjà publiée sur un autre site.

[invite4793db90]

Salut,

Supposons sans pert de généralité que ce soit un maximum, alors
g(z+h)-g(z)>0 pour un h>0 suffisament petit et g(z)-g(z-h)>0

quelque chose me chiffonne: si z est un maximum, ne serait-ce pas plutôt g(z+h)-g(z)<0?

[inviteab2b41c6]

En effet, mais est ce que ca change la donne?
Je vais aller relire ca.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Je ne pense pas. Je paraphraserais ainsi:

si z est un minimum local de g, g est positive autour de z, décroissante sur ]z-eps, z[, croissante sur ]z, z+eps[. Or g'=g, donc g est à la fois décroissante et croissante sur ]z-eps, z[: g est nulle sur cet intervalle.

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci de tes commentaires.
Vois tu comment généraliser ceci?
Par exemple avec f C1 et strictement croissante?

[invite4793db90]

Salut,
merci de tes commentaires.
Vois tu comment généraliser ceci?
Par exemple avec f C1 et strictement croissante?

Pardonne-moi, mais je n'ai pas compris. :confused:

[inviteab2b41c6]

Peut etre que le problème ne se rédigeait que dans ma tête
Je me demandais comment généraliser cette démonstration aux équations du type
y'=f(y) et quelles conditions sur f.

[invitec314d025]

Peut etre que le problème ne se rédigeait que dans ma tête
Je me demandais comment généraliser cette démonstration aux équations du type
y'=f(y) et quelles conditions sur f.

Il faudrait déjà f(0) = 0 et f(x) du même signe que x je pense.

[invite9c9b9968]

salut quinto,

je trouve ton raisonnement superbe (j'adore la topo ), mais par rapport à ta question de départ (y'=y), n'est-ce pas un peu "le marteau-piqueur pour écraser une mouche" ?

En effet tu souhaite démontrer rigoureusement l'unicité sur l'ensemble des réeels du problème de Cauchy y'=y, y(0) = 1 ; je te propose une démonstration en deux parties qui te donne d'un coup l'existence et l'unicité, et qu'un TS peut parfaitement comprendre.

Partie I : le brouillon.

On se place dans des conditions idéales : y ne s'annule pas (on le suppose, ici c'est le brouillon). Alors l'équadiff est équivalente à

On reconnaît à gauche une dérivée bien connue, celle de ln(y(x)). On intègre donc, et on obtient ln(y(x))= x + C

En passant à l'exponentielle, cela donne

Partie II : la démonstration

La partie I nous motive dans l'introduction de la fonction . On constate que f est C1 si et seulement si y l'est, et .

On a équivalence entre y solution du problème inital et f solution de f'(x) = 0 sur IR (car l'exponentielle ne s'annule jamais). Cette équation s'intègre sans problème, et l'on trouve commes solutions f(x) = C, C constante arbitraire.

Finalement, on a sur tout IR.

Or y(0) = 1 donc on impose C=1 : la solution est nécessairement , et cette solution convient bien : il y a donc existence et unicité de la solution du problème de Cauchy initial (et nous avons même l'expression de cette solution)

Bon évidemment, cette solution ne marche plus avec y'= g(y) et g non linéaire.... Du coup, ta solution est peut-être généralisable, mais sûrement pas celle que j'ai proposée.

@+

[inviteab2b41c6]

Salut, merci de ta remarque , cependant je me demande si mon raisonnement tient la route. Notamment comme martini me le fait remarquer, j'ai inversé un signe, et ca semble changer un peu mon raisonnement.
La remarque de Mathias est intéressante et notamment si mon raisonnement tient, et si f est croissante strictement sur R f(0)=0 ca semble pouvoir se généraliser (j'ai essayé mais je suis tombé sur un problème lorsque j'ai voulu montrer que Z était ouvert. Cependant Z doit toujours être fermé car y est continue)
Je vais essayer de revoir tout ca.

Pour revenir au problème, il faut que je pose les bases parce que j'avoue ne pas avoir été très clair:
En terminale on pose y'=y y(0)=1
On admet que cette équation admet qu moins une solution et le but est de montrer qu'elle est unique.
Ensuite on appelle cette solution la fonction exponentielle et on la note exp, et on pose ln sa réciproque. On la dérive et on tombe sur x->1/x

il nous manque donc beaucoup de notions pour manier facilement cette équation.

[invite4793db90]

Salut,

en passant, tu peux regarder cette épreuve du Capes.

[inviteab2b41c6]

Salut, après relecture, il y'a bien une erreur qui fait tomber tout le raisonnement (notamment Z ouvert...)
Il faut que je reprenne tout ca.

Merci pour ton document Martini.

[invite8f53295a]

C'est plutôt la fin que ton raisonnement pour Z ouvert qui me semble clocher un peu...

Partie purement topologique

Montrons alors que Z est ouvert:
Soit z un point de Z, notamment g est localement constante autour de z, il existe donc une boule de centre z et de rayon r qui reste dans Z. Donc Z est ouvert.

Ok.

Montrons que Z est fermé:
Soit (zn) une suite d'éléments de Z qui converge vers un élément x de R, alors g(zn)=0 pour tout n. Notamment g(lim(zn))=g(x). Par la continuité (qui découle
de la dérivabilité) on a que lim(g(zn))=g(lim(zn))
g(zn)=0 pour tout n par définition, et donc lim(g(zn))=0=g(lim(zn))=g(x), donc g(x)=0 et x est un zéro de Z.
Z est donc fermé.

Ok.

Montrons que Z est connexe:
Si |Z|<1 c'est trivial.
Sinon, prenons deux points a et b de Z.
g(a)=g(b)=0
Notamment, il existe c dans ]a,b[ tel que g(c)=0 par le théorème de Rolle (je crois?).
On peut également montrer le résultat autrement:
COnsidérons l'intégrale de a à b de g(x)dx, alors puisque g'=g, si je note G une primitive de g, on a que G=g+cte, en effet, en intégrant des 2cotés l'équation différentielle, on obtient le résultat. Notamment l'intégrale est nulle sur [a,b]. Il me semble que l'on doit voir en terminale que ca implique qu'il existe au moins un point ou la fonction s'annule entre a et b non? Ce qui prouve d'une autre manière le résultat.
Notamment entre 2 points de Z il existe encore un point de Z.

Ok

peut alors montrer par la continuité de g que g est nulle en fait sur tout [a,b] de part cette remarque. Ainsi, Z est connexe (en fait techniquement, on montre beaucoup plus que ca, on montre que Z est convexe, mais dans R c'est pareil...)

Hum ça doit être vrai mais j'aimerais bien que tu détailles un peu, parce qu'il faut au moins utiliser le fait que Z est fermé. Par exemple Q vérifie bien le fait qu'entre deux points de Q il existe un élément de Q distinct de ces deux points... De toutes façons tu n'as pas besoin de montrer que Z est connexe (voir la suite).

Z est fermé et ouvert et connexe, c'est donc soit l'ensemble vide soit R.

A mon avis tu fais une confusion avec le fait que dans un espace connexe un ouvert fermé est soit vide soit égal à tous l'espace. Ici c'est donc IR qui doit être connexe (pas Z), ça supprime donc la partie précédente.

Supposons à présent que z ne soit pas un extremum.
Supposons alors que g' ne change pas de signe autour de z.
Supposons sans perte de généralité que g'>0 autour de z, alors g(z)=0=g'(z).
Si g'(z+h)>0 et g'(z-h)>0 pour un certain h>0 (strictement) alors g'(z+h)=g(z+h)>0 et g'(z-h)=g(z-h)>0 donc g est positive autour de z, et g(z)=0, ce qui signifie que z est un extremum local, ce qui est une contradiction.
Donc g' change de signe autour de z.
Supposons que g'(z+h)>0 et g'(z-h)<0.
Alors g(z+h)=g'(z+h)>0 et puisque g'(z+h)>0 g est croissante sur [z,z+h]
de même g(z-h)=g'(z-h)<0 et puisque g'(z-h)<0 g est décroissante sur [z-h,z]
Autrement dit, z est un extremum local, ce qui est encore une contradiction.

J'ai l'impression que tu supposes implicitement que g' doit être de signe constant sur un intervalle de la forme ]z,z+h[, il me semble qu'il faudrait aussi envisager que g puisse osciller sauvagement au voisinage de z, ou alors je n'ai pas bien compris ?

Bref il faudrait avoir plus d'information sur le comportement de g au voisinage de z. Comme l'annulation d'une dérivée ne nous apprend rien, je partirais en fait plutôt d'un point x ou g ne s'annule pas. On considère alors l'ensemble des y tels que g ne s'annule pas sur [x,y]. En utilisant la propriété de la borne supérieure (ou la connexité de IR), on peut montrer que cet ensemble est [x + infini[. De même de l'autre côté, donc g ne s'annule pas...

[inviteab2b41c6]

Salut,
pour la partie Z connexe, j'en avais en fait plus ou moins conscience, mais tu as clarifié les choses.
Pour le fait que g puisse osciller entre entre le positif et le négatif, il me semble que justement j'avais prévu ceci.
En fait, si g oscille, le théorème de Rolle permet de conclure qu'il existe un autre point ou g s'annule:

s'il existe a et b, a<b strictement tels que
g(a)=g(b)=0 alors il existe c , a<c<b tel que g'(c)=0 mais g'=g donc g'(c)=g(c).
Ceci montre la densité de Z dans le plus petit intervalle I contenant Z. g étant continue sur un ensemble dense de I, donc g=0. non?
Il me semble que 2fonctions continues coincidant sur un ensemble dense d'un intervalle de R sont égales sur cet intervalle, je ne me trompe pas?
Il me semble en avoir parlé avec toi il y'a bien 3-4ans d'ailleurs

[invite8f53295a]

s'il existe a et b, a<b strictement tels que
g(a)=g(b)=0 alors il existe c , a<c<b tel que g'(c)=0 mais g'=g donc g'(c)=g(c).
Ceci montre la densité de Z dans le plus petit intervalle I contenant Z. g étant continue sur un ensemble dense de I, donc g=0. non?
Il me semble que 2fonctions continues coincidant sur un ensemble dense d'un intervalle de R sont égales sur cet intervalle, je ne me trompe pas?

Ah oui, effectivement comme ça ça doit marcher, et ta preuve devrait être complète. Attention quand même à ce qu'il faut utiliser le fait que Z est fermé pour conclure à sa densité dans I (par exemple {-1} union {1/n , n >=1} n'est pas fermé dans [-1,1] et vérifie ta propriété).

Il me semble en avoir parlé avec toi il y'a bien 3-4ans d'ailleurs

Ca passe le temps...

[inviteab2b41c6]

Salut,
je ne suis pas convaincu:

entre 1 et 1/2 il n'y a aucun point dans ton ensemble....
Ou alors ce n'est pas l'exemple auquel tu pensais...

[invite8f53295a]

Ah oui tu as raison ça ne marche pas
Et ( ?

[inviteab2b41c6]

La ca marche, je vois la subtilité.
Merci,
a+