question pour un champion

[inviteb3540c06]

Bonsoir tous le monde

Pourquoi la matrice associée à une projection orthogonale écrite dans la base canonique de par exemple , est symétrique par rapport à ses lignes et ses colonnes ?

merci
Cordialement
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[invite14e03d2a]

Salut,

puisque la projection est orthogonale, il existe une base orthonormale B dans laquelle la matrice P de la projection est diagonale (et donc P est symétrique).
Si O est la matrice de passage de la base B à la base canonique, alors la matrice de la projection orthogonale est M=O^{-1}PO (ou bien M=OPO^{-1} je ne sais jamais mais ça n'a pas d'importance ici).
Mais la base canonique est aussi une base orthonormale donc O est une matrice orthogonale. Par conséquent, on a O^{-1} est la transposée de O et on voit facilement que M est symétrique.

Cordialement