série convergente/divergente

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Bonjour,

je voudrais savoir comment on fait pour montrer que pour tout n , la série cos(nx)/(n^l) avec l dans l'intervalle ]0,1] est convergente?

Merci
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[invite02e16773]

Bonjour,

Comme souvent avec les sin et cos, on montre l'absolue convergence de la série.

on considère donc


Or,
donc, d'après le critère de d'Alembert converge.
En appliquant le théorème de comparaison, on montre que converge c'est-à-dire que est absolument convergente, donc convergente.

Il y a peut-être plus rapide...

[invite4ef352d8]

Salut !

euh Guillaume... félicitation, tu viens de prouver que la séries des 1/n^l avec l<=1 est convergente !


Non plus sérieusement, pour prouver ce résultat il faut passer par un résultat qu'on appelle le critère d'abel, qui est une généralisation de la règle spéciale des séries alterné et qui dit exactement :

Si an est une suite décroissante de réel positif qui tend vers 0 et que bn est une suite de complexe tel que : Bn=somme de k=0 à n de bk est borné, alors la séries somme des an.bn converge.

(on retrouve la règle spéciale des séries alterné avec bn=(-1)^n )

il faut donc que tu commence par prouver ce petit lemme qui s'obtiens avec une transformation d'abel (j'espère vraiment que tu connais, parceque j'ai pas du tous envie de taper ca en latex ) faisant apparaitre la somme des Bn*(an+1-an) et comme an est décroissante, on saura que (an+1-an) est négative et donc on pourra passer aux majoration sans difficulté...

et apres je suis sur que tu trouvera tous seul comment l'appliquer ^^

[invite02e16773]

Effectivement, j'ai résolu l'exercice en considérant p>1, ce qui était précisément l'inverse qu'il fallait faire. Grosse inattention, désolé.

Au passage, au lieu de pratiquer l'ironie (ou la moquerie), on peut dire simplement où est l'erreur (énorme, j'en conviens). C'est plus agréable, et plus poli...

Désolé encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead465ff2]

Je pense qu'il y a plus simple que le théorème d'abel...

[invite4ef352d8]

Je pense qu'il y a plus simple que le théorème d'abel... >>> et bien si tu trouve j'avoue que je suis curieux de voir ca... mais je suis à peu près sur que non, il y à pas plus simpe ! en tous cas, il y aura pas plus élementaire (on peut aussi tenter une preuve avec le théorème de cauchy ou peut-etre avec des séries de fourier... mais ca serait d'un niveaux nettement plus élevé et sans garantie que ca soit plus simple) le théorème d'abel est vraiment fait pour ce genre de situation. si ca avait était une intégrale la solution naturelle aurait été évidement une intégration par partie, donc avec une séries c'est la transformations d'abel (et la comparaison série/intégrale directe ne donne rien sur ce genre d'intégrale). bref, je t'assure que je t'ai pas lancé la dedans à la légère, la transformation d'abel c'est vraiment la méthode pour ce genre d'exercice.


Guillaume : il ne fallait pas te sentir véxé, si je me suis permis de répondre comme cela c'est parceque il me paraissait évident que ton "erreur" était une bête inattention comme nous en faisons tous (moi le premier) quand nous répondont sans réfléchir suffisement et qu'à ta place je me serais plutot véxé si quelqu'un avait pris le temps de m'expliquer l'erreur en pensant que j'espère répondre à des questions sur les séries sans savoir appliquer le critère de d'alembert ni quand les série de riemann converge.