Série divergente

[invite4b31cbd7]

Bonjour,

Bon, première question, peut-on séparé une série divergente composé de la somme de deux termes (comme dans la première image attaché où on a en fait la différence de deux termes) en deux séries (chacune étant la somme infinie d'un des deux termes)? Je sais qu'on a le droit pour des séries convergentes mais je suis pas sur pour des séries divergentes...

Deuxième question, comment prouver la divergence ou convergence de la série en image #1 ? (un peu en lien avec la première question )

Troisième question, celle-là m'empêche de dormir depuis trop longtemps, je dois prouver la divergence de la série qui somme (ln (n) ) ^x où x est un exposant quelquonque. J'ai trouvé dans un livre un indice, mais je le comprend pas vraiment, je l'ai mis comme deuxième image attaché (c'est l'indice pour (e) ).

Merci d'avance !
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[invite4ef352d8]

pour ta première question, ce que tu veux savoir c'est si on a le droit d'écrire :

somme des (an+bn)=somme des an + somme des bn ?


et bien on a le droite de l'ecrire uniquement sur les somme partielle, ou si on a vérifier que les trois terme etait convergente. mais tu peut trees bien avoir somme des (an+bn) convergent, avec somme des an et somme des bn divergent.
et si somme des (an+bn) est divergente je vois pas tres bien ce qu'il y a séparer puisque les sommes ne sont pas définit ! mais on peut effectivement en déduir que somme des an OU somme des bn est divergente.
et je vois pas non plus le rapport avec la seri de l'image car tu as la racine caré qui t'empche d'y voir quoique ce soit non ?


pour la deuxieme, c'est imediat, il suffit de donner un équivalent du terme géneral ! le numérateur est equivalent a n, le dénominateur a n^3, donc tous ce qui est sous la racine est equivalent a 1/n², et donc le terme géneral est equivalent à 1/n : la seri est divergente !



pour ta troisieme question,cette indication me semble bien compliqué !! c'est extremement simple enfait : compare à la série de terme géneral 1/n !!

pour tous x réel, n*(ln n)^x -> +infinit

[invite4b31cbd7]

Merci ça répond assez bien à mes questions.

Mais pour la deuxième, de dire que le terme général du numérateur est n c'est pas illégal ça ? Je veux dire il y a quand même soustraction, et (n-ln(n)) est plus petit que n, et comme ta conclusion c'est de dire que ça diverge je trouve que le premier argument est louche non ?

[invite4ef352d8]

j'utilise les comparaisons de series :

si an ~ bn,

et que somme des bn est une series a termes poitif divergentes, alors somme des an diverge. que an soit plus grand ou plus petit que bn.


et n-ln n ~ n, car (ln n )/n -> 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

Ha bon, bien merci je savais juste pas que c'était un truc permis.

[invite4ef352d8]

ba... c'ets permis si tu a vu le théorème que je cite juste avant :S