Bon ordre sur R

[invitea0db811c]

Bonjour,

Je suis récemment tombé sur des démonstrations qui utilise le fait que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre (récurrence transfini), en expliquant que cette existence était équivalente à l'axiome du choix... Même si en soit, il me semble voir en gros le lien qu'on pourrait établir entre les deux, auriez vous un lien l'expliquant ? Ou si vous en avez la patience, pourriez vous me donner dans les très grandes lignes, la démonstration qui montre qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sont équivalent ? (à choisir je préfèrerais la deuxième solution, cela me laisserait le loisir de réflechir plus ^^

Sinon pas moyen de trouver de construction de ce bon ordre sur R, et je n'ai pas non plus trouvé de lien disant si cette contruction est possible. L'est elle ? (à priori je dirais non, mais je n'ai pas la courage d'expliquer mon impression sur le pourquoi du comment, parceque ce genre d'interrogations c'est du tout nouveau pour moi et je m'emmèle un peu les pinceaux... donc tant qu'à faire je vais éviter de raconter une énormité sur le forum ><)
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[Médiat]

Bonjour,

Je suis récemment tombé sur des démonstrations qui utilise le fait que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre (récurrence transfini), en expliquant que cette existence était équivalente à l'axiome du choix... Même si en soit, il me semble voir en gros le lien qu'on pourrait établir entre les deux, auriez vous un lien l'expliquant ? Ou si vous en avez la patience, pourriez vous me donner dans les très grandes lignes, la démonstration qui montre qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sont équivalent ? (à choisir je préfèrerais la deuxième solution, cela me laisserait le loisir de réflechir plus ^^

C'est le théorème de Zermelo, dont l'équivalence avec AC n'est pas très compliquée, tu peux regarder là :
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap4.pdf

Sinon pas moyen de trouver de construction de ce bon ordre sur R, et je n'ai pas non plus trouvé de lien disant si cette contruction est possible. L'est elle ?

De mémoire la réponse est non, seul le théorème de Zermelo affirme qu'il existe.

[invitea0db811c]

Et bien merci beaucoup médiat !

décidément tu as toujours le lien vers ce qui m'intéresse ^^ comment fais-tu ? Tu lis dans mes pensées ?

[Médiat]

Tu lis dans mes pensées ?

Oui, avec l'axiome du choix .

[A voir en vidéo sur Futura]

[nash06]

Bonjour à tous, et désolé pour ce up de quelques années... mais cette question m'intéresse et je pense qu'il vaut mieux ne pas créer un autre topic inutilement (ça serait dommageable pour les internautes futurs qui voudraient faire une recherche dans les topics existant).

Bref, le théorème de Zermelo dit que tout ensemble peut être bien ordonné, donc en particulier R. Mais dans le cas précis de R, y a-t-il nécessairement besoin de ce théorème ? (Je veux dire, si on fait des maths sans l'axiome du choix, est-ce que dans ce cas R ne peut plus être bien ordonné ou est-ce que c'est toujours possible ?)

Et de façon générale, y a-t-il des ensembles non dénombrables qui peuvent être bien ordonnés même sans l'axiome du choix sans qu'on soit capable pour autant d'exhiber ce bon ordre ?


Merci d'avance pour vos réponses !

[Tiky]

Bonjour,

Je pense que si dans ZF on est capable de munir d'un bon ordre, alors il n'est pas difficile de montrer que dans il existe des parties non mesurables pour la mesure de Lebesgue (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Vitali). Or je sais que si ZF est consistant, alors ZF + «toutes les parties de sont mesurables pour la mesure de Lebesgue» est consistant.

En fait dans ZF la situation est encore bien pire. Il faut faire une grande différence entre bien ordonnable et bien ordonné. Par exemple le résultat suivant est indécidable dans ZF :
Toute réunion dénombrable d'ensemble dénombrable est dénombrable. Il existe même des modèles de ZF dans lesquels est une réunion dénombrable d'ensemble dénombrable.
Le résultat est vrai dans ZF + «axiome du choix dénombrable». Le problème étant que si les ensembles en question sont bien ordonnables puisqu'en bijection avec , ils n'ont pas un ordre canonique.

[Médiat]

Et de façon générale, y a-t-il des ensembles non dénombrables qui peuvent être bien ordonnés même sans l'axiome du choix sans qu'on soit capable pour autant d'exhiber ce bon ordre ?

Bonjour,

Je ne serais pas étonné qu'une des nombreuses versions faibles de l'axiome du choix soit suffisante dans certains cas.

Comment définissez-vous "non dénombrable" sans axiome du choix (tous les ensembles n'ont pas de cardinal sans AC) ?

[nash06]

Comment définissez-vous "non dénombrable" sans axiome du choix (tous les ensembles n'ont pas de cardinal sans AC) ?

Euh... comme ça j'aurais dit qu'un ensemble est dénombrable s'il y a une surjection de N sur cette ensemble et non dénombrable sinon... Cette définition ne marche-t-elle pas sans l'axiome du choix ?

[Médiat]

Bonsoir,

Ma question voulait juste faire resurgir que sans AC, vous ne pouvez pas définir un cardinal (à base de bons ordres) pour tous les ensembles ; sans AC on peut très bien définir la notion de cardinal (classes d'équipotence), mais cela marche moins bien qu'avec les bons ordres.