cocyclicité

[invite3b50103a]

Bonjour a tous voila j'ai un problème sur mon dm de maths : le dm consiste à montrer que que A,B,C,D sont cocycliques ou alignés ssi le birapport [a,b,c,d] est réel. voila les questions

1) donner sans démonstration, une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe a-b/c-a. en déduire un condition simple pour que les points A,B,C,D soient alignés
2)montrer que si les points A,B,C,D sont alignés alors [a,b,c,d] appartient a R
3) on suppose, pour cette seule question, que les points A,B,C,D appartiennent a un même cercle C de centre oméga (majuscule) d'affixe w(oméga minuscule) et de rayon r>0.Montrer que [a,b,c,d] appartient a R ( on pourra introduire des arguments alpha beta gamma , epsilon des complexes a-w, b-w, c-w, d-w )

1) no problème
2) je suis pas sur de ma réponse : en fait je part de la condition pour que deux points soient alignés puis je trouve (d-c/b-a) appartient a R
3) j'ai essayé plusieurs choses : affixe de vecteur, module égaux pour a-w,b-w,c-w et d-w mais je n'aboutit a rien de concret , j'avais pensé à utiliser le théorème de l'angle inscrit mais c'est ce que je dois en déduire de cet question 3) donc je ne peux l'utiliser
quelqu'un pourrait m'aider ?
merci d'avance
-----

[invite3b50103a]

quelqu'un pourrais m'aider svp ??

[NicoEnac]

Bonjour,

Qu'est ce qu'un birapport ? Désolé je ne connais pas cette notion

[NicoEnac]

Rebonjour,

Après un rapide tour sur google, j'ai trouvé.

Revenons à l'exo : comment peut-on traduire que A, B, C et D sont alignés ? Une méthode assez simple est de dire qu'il existe k, et k' réels tels que :
BC = k.AC
BD = k'.AD
(cela traduit le fait que AB, AC et AD sont colinéaires)
on a donc que : c-b = k.(c-a) et d-b = k'.(d-a)
[a;b;c;d] = (a-c)/(a-d) / (b-c)/(b-d) = (a-c)/(a-d) / -k(c-a)/-k'(d-a) = k'/k qui est réel

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b50103a]

merci pour ta réponse en fait il suffisait juste d'exprimer ce que veut dire alignés > colinéarité =)
et tu n'as aucune idée sur la question 3) ?

[invite57a1e779]

Pour la question 3, il peut s'avérer de caractériser les points cocycliques par une égalité d'angles inscrits.

[invite3b50103a]

je ne peux pas me servir du theoreme de l'angle inscrit car c'est ce que je dois prouver a la fin de mon dm donc il doit y avoir une autre méthode, une idée ?

[invite57a1e779]

Les points étant sur le cercle de centre et de rayon , leurs affixes satisfont les relations
, , , , ce qui permet de calculer le birapport en fonction de et des arguments de , , , .

[invite3b50103a]

pourrais tu m'expliquer pourquoi a-w=re(i * alpha), cela decoule de l forme trigo d'un complexe c'est ca ?

[invite3b50103a]

ah non c'est la formule z=w+ Re(iteta) merci pour l'aide

[invite3b50103a]

en fait je dois remplacer a,b,c et d par leurs expression en fonction de r et de alpha ? car en faisant ceci je dois trouver quelque chose de réelle et malheureusement pas grand chose se simplifie

[invite3b50103a]

en fonction de r et de leurs argument désolé

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il faut manipuler correctement les calculs sur les nombres complexes.

On a , et , donc , et tu dois trouver un birapport réel au final.

[invite3b50103a]

tu utilises les formules d'Euler c'est ca avec cosinus ? et je dois faire pareil avec avec les autres affixes des autres points ? je vais essayer ca et je te dis si je trouve

[invite57a1e779]

Oui, j'utilise .

Mes formules ne sont donc pas tout à fait exactes... Il y a des sinus au lieu des cosinus, et des i qui traînent, mais qui de simplifient dans les calculs de quotient.

[invite3b50103a]

c'est bon j'ai trouver. il me reste a la fin un quotient de produit de sinus qui est réel. merci pour ton aide!!