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Définition de la cocyclicité dans l'espace



  1. #1
    mx6

    Définition de la cocyclicité dans l'espace


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un exercice difficile, qui demande de prouver que certains points sont cocycliques, ils n'appartiennent pas au même plan ! Donc là "cocyclique" signifie "même sphère". Je voudrais savoir s'il y a des propriétés à connaitre, des théorèmes sur la cocyclicité des points dans l'espace ? (Car des théorèmes sur plan complexe, et cartésien existent).

    Merci,

    Je serais là dans 2 heures

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    -Zweig-

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Salut,

    Donne ton exercice pour voir.

  4. #3
    mx6

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Ok Zweig

    Dans l'espace on considère :

    - Un plan contenant un cercle de diamètre .
    - Un point appartenant à , distinct de et de .
    - Un point , distinct de , appartenant à la perpendiculaire à en A
    - Le projeté orthogonal de sur .
    - Le projeté orthogonal de sur .

    Les points sont-ils cocycliques ?

  5. #4
    tuan

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Bonsoir,
    Il te faut quelques théorèmes relatifs à la perpendicularité entre droites, entre droite et plan...

    1) si une droite est perp. à un plan, elle est perp/orthogonale à toutes les droites du plan.
    Application: DA est perp. au plan P, DA est donc perp/orthog. a AB, à AC et à BC

    2) si une droite est perp./orthogonale à 2 droites sécantes, elle est perpendiculaire au plan formé par les 2 droites.
    Application : BC est perp. à AC (C sur le cercle) et orthog. à DA (point (1)). Donc BC est perp. au plan DAC

    3) le théorème suivant nécessite un dessin pour mieux comprendre. C'est le théorème des 3 perpendiculaires.
    J'utilise le dessin de ton problème pour m'exprimer

    - la droite BC est perp. au plan DAC (1e droite perp.)
    - CH est perp. à AH (2e droite perp)
    - donc BH est perp. à AH (3e droite perp)
    De ce théorème, il y a 2 autres réciproques... (s'il y a 2 perp. il y a la 3e aussi)

    Donc ici K, H et C regardent chacun le même diamètre AB sous un angle droit... => même sphère.

  6. #5
    tuan

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    il y a bazar, la figure attachée ne passe pas !
    Images attachées Images attachées

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Pour répondre juste sur la question de la cocyclicité dans l'espace, on peut remarquer que les 4 points de l'exercice sont coplanaires. Ils sont tous dans le plan BCD, puisque H et K appartiennent à des droites dans BCD.

    La question porte bien sur la cocyclicité dans le plan; même cercle, pas même sphère.

    (Par ailleurs, il existe toujours une sphère contenant 4 points non coplanaires.)


    Cordialement,

  9. Publicité
  10. #7
    mx6

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Bonjour !

    tuan cette phrase "Donc ici K, H et C regardent chacun le même diamètre AB sous un angle droit... => même sphère. " est ce une propriété générale ? Y a t il pas d'autres conditions pour justifier que ils appartiennent à la même sphère ? La réciproque est elle vraie ?

    Donc s'ils appartiennent à la même sphère, de plus ils sont coplanaires, donc cocyclique ! Car l'intersection d'une sphère par un plan est toujours un cercle (si l'intersection existe, et le plan non tangent) .

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    cette phrase "Donc ici K, H et C regardent chacun le même diamètre AB sous un angle droit... => même sphère. " est ce une propriété générale ?
    Si un point "regarde" un segment AB sous un angle droit, quelle est la distance entre le point et le milieu de AB, à ton avis?

    Cordialement,

  12. #9
    mx6

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Oui c'est le rayon de la sphère, donc ils sont tous équidistants au milieu de AB !

  13. #10
    mx6

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    tuan avec quel logiciel as tu fait cette figure ?

  14. #11
    tuan

    Re : Définition de la cocyclicité dans l'espace

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    tuan avec quel logiciel as tu fait cette figure ?
    Salut,
    Cette figure n'est que "artistique" et n'a pas de grande précision comme ça aurait pu donner un produit DAO/CAO.
    J'utilise PhotoPaint de CorelDraw, un traitement de photos. Photoshop pourrait faire l'affaire aussi.

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