Tangence

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans un exercice, il m'est demandé de montrer, si l'on considère dans le plan euclidien un cercle C et un ensemble E qui est soit un cercle soit une droite, mais tangent à C, que les images de C et de E par l'inversion sont toujours tangents.

Mais il y a quelque chose qui me dérange : l'on a montré précédemment que les images de points cocycliques ou alignés étaient également cocycliques ou alignés, c'est-à-dire qu'a priori les images de C et E pourraient être deux droites, donc il me paraît gênant de parler de tangence...

On peut montrer assez facilement que si C et E se coupent en un seul point, alors les images de C et E par l'inversion se coupent également en un unique point, d'où la tangence pour les cas où l'on a deux cercles ou un cercle et une droite, mais peut-on encore parler de tangence lorsque l'on considère deux droites ? Finalement, deux droites dans le plan serait soit parallèles soit "tangentes"

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite8a80e525]

Bonsoir,

le cas où tu obtiens deux droites ne va jamais arriver, c'est tout.
Tu as montré que tes images avaient un unique point d'intersection. Tu connais beaucoup de droites parallèles avec un unique point d'intersection?

[Seirios]

Tu connais beaucoup de droites parallèles avec un unique point d'intersection?

Pourquoi les droites seraient-elles parallèles ?

[invitea0db811c]

Bonsoir,

Il me semble que l'image d'un cercle par une inversion va de toute manière être un cercle.

Si je ne dis pas n'importe quoi, Une inversion de rapport k non nul "multiplie les distances" par -k. Et donc si tu prend n'importe quel point de l'image du cercle (de rayon R), alors celui ci sera à une distance |k|*R de l'image J du centre I du cercle de départ par l'inversion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a80e525]

C'est pas très joli mais tu peux étudier tous les cas de figure:

un cercle ne passant pas par le centre donne un cercle;
un cercle passant par le centre donne une droite ne passant pas par le centre;
une droite passant par le centre donne la même droite ;
une droite ne passant pas par le centre donne un cercle passant par le centre.

Si tu y regardes de près, tu verras qu'on ne pourra jamais avoir deux droites.

[invitea0db811c]

"une droite passant par le centre donne la même droite ;
une droite ne passant pas par le centre donne un cercle passant par le centre."

Oula on doit pas parler de la même chose pour l'inversion... Vous entendez quoi par là ? Moi je pensais bêtements aux homotéties de rapport strictement négatif.

[Flyingsquirrel]

Oula on doit pas parler de la même chose pour l'inversion... Vous entendez quoi par là ?

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...inversion.html

[invitea0db811c]

Merci pour le lien ^^ en effet j'étais totalement à côté de la plaque ^^'

[invite9a322bed]

Salut Phys2, le problème des inversions a été bien étudié dans mon premier DM de maths que t'as vu d'ailleurs Si tu veux je te l'envoie via msn, si tu te connectes

[Seirios]

C'est pas très joli mais tu peux étudier tous les cas de figure:

un cercle ne passant pas par le centre donne un cercle;
un cercle passant par le centre donne une droite ne passant pas par le centre;
une droite passant par le centre donne la même droite ;
une droite ne passant pas par le centre donne un cercle passant par le centre.

Je vais regarder cela de plus près ; cela dit, le dernier cas peut se déduire du deuxième en sachant que l'inversion est involutive.

Salut Phys2, le problème des inversions a été bien étudié dans mon premier DM de maths que t'as vu d'ailleurs Si tu veux je te l'envoie via msn, si tu te connectes

C'est plutôt mal parti, je risque d'avoir une semaine plutôt chargée, mais si j'arrive à me connecter je te fais signe

[Seirios]

C'est pas très joli mais tu peux étudier tous les cas de figure:

un cercle ne passant pas par le centre donne un cercle;
un cercle passant par le centre donne une droite ne passant pas par le centre;
une droite passant par le centre donne la même droite ;
une droite ne passant pas par le centre donne un cercle passant par le centre.

Si tu y regardes de près, tu verras qu'on ne pourra jamais avoir deux droites.

Mais l'on retrouve bien deux droites dans le cas où l'on considère deux cercles tangents au centre de l'inversion, non ?

[invite57a1e779]

Mais l'on retrouve bien deux droites dans le cas où l'on considère deux cercles tangents au centre de l'inversion, non ?

Oui, deux cercles tangents au pôle de l'inversion ont pour images deux droites parallèles.
On a un problème analogue avec une droite et un cercle tangents au pôle d'inversion.

[invite9a322bed]

Je suis content que tu sois de retour parmis nous God's Breath !