Problème de probabilité conditionnelle

[Bleyblue]

Bonjour,

Voici un problème : On répartit les individus d'une population en 3 groupes 35 dans le groupe A, 25 dans le B et 40 dans le C. Pendant 100 jours, on examine chaque jour une personne différente, choisie au hasard dans cette population.
Sachant que les 10 premières personnes examinées sont C, quel est la probabilité que la 11ième soit B ?

Je sais que la réponse est 5/18

Alors on cherche : p(la 11ième soit B SI les 10 premières sont C) = p(la 11ième soit B ET les 10 premières sont B)/p(les 10 premières sont C)

Mais malheureusement je ne vois pas comment calculer ces deux probabilités (p(la 11ième soit B ET les 10 premières sont B), p(les 10 premières sont C))

Avec une binomiale ça ne me semble pas faisable et avec l'analyse combinatoire j'ai échoué (= je ne tombe pas sur 5/18)

Vous avez une piste ?

Merci !
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[matthias]

Tu peux le faire avec des probabiltés conditionnelles, mais là tu es dans un cas simple.
Après les dix premiers tirages, il te reste 35 personnes dans A, 25 dans B et 30 dans C (étant donné qu'on examine pas deux fois la même personne).
Pour la onzième, la proba qu'elle soit dans B est 25/(35+25+30) = 5/18

[Bleyblue]

Ahh ben oui tout simplement. Et moi qui chipotais avec des nombres de combinaisons et tout et tout ...

Merci !

[Bleyblue]

Bon j'ai à nouveau un problème, alors plutôt que de créer un nouveau topic je pose ma question ici ...

Voilà l'énoncé :
Un patient est suspecté d'avoir l'une des trois maladie A1, A2, A3. Il appartient à une population dans laquelle les probabilités respectives de ces 3 maladies sont p1 = 1/2, p2 = 1/6, p3 = 1/3
Il existe par ailleur un test qui donne un résultat positif avec un proba. de 0,2 dans le cas d'A1, 0,3 dans le cas d'A2, 0,8 dans le cas d'A3 ...
a) Si on soumet ce patient à ce test et qu'il est positif quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'A3 ?
b)On applique ce test au patient 5 fois de suite. Sachant qu'on a obtenu 4 fois de suites un résultat positif et 1 fois un résultat négatif quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'A3 ?

a)
P(A3/positif) = p(A3 ET positif)/p(positif) =

Pas de problèmes pour le a)

b) Ici par contre je ne sais pas trop ...

on cherche : p(A3 SI 4 fois positif et une fois négatif) = p(A3 ET 4 fois positifs une fois négatif)/p(4 fois positifs une fois négatif)

Mais de nouveau je n'arrive pas à trouver ces deux probabilités ...

Pour p(4 fois positifs une fois négatif) par exemple moi j'aurais dis : mais je ne pense pas que ce soit juste ...

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19415392]

Je n'ai pas regardé le détail des calculs, mais déjà il me semble que l'évènement (4 fois positifs une fois négatif) ne préjuge pas de l'ordre des évènements ; en conséquence de quoi tu vas devoir multiplier par 5 : P(4+ et 1-) = 5 x P(+)^4 x P(-), le 5 étant bien sur un coefficient binomial.

[Bleyblue]

C'est vrai que je l'avais oublier celui là ...
Malheureusement je ne tombe toujours pas sur le bonne réponse mais je vais aller revoir ça après avoir manger un bout ...

merci !

[Bleyblue]

Oui donc, en appliquant la distribution binomiale :

-> Bin(5/12, 7/12) et donc :

p(quatre des résultats positifs, un négatif) =

p(A3 ET quatre des résultats positifs un négatifs) =

Mais en faisant le quotient je ne trouve pas la bonne réponse (0,954) il faut donc supposer que j'ai fait une faute ...

Merci

[shokin]

Vive la binomialité !

Shokin

[Bleyblue]

Vive le problème tordu surtout oui ...

[Bleyblue]

J'ai encore une version, toujours fausse mais qui me semble plus juste :

[shokin]

on cherche : p(A3 SI 4 fois positif et une fois négatif) = p(A3 ET 4 fois positifs une fois négatif)/p(4 fois positifs une fois négatif)

=
[ 1/3 * (4/5)^4 * (1/5)^1 ]
/
[ 1/2 * (1/5)^4 * (4/5) + 1/6 * (3/10)^4 * 7/10 + 1/3 * (4/5)^4 * 1/5 ]

Non ?

Shokin

[Bleyblue]

Héééééééé mais c'est que c'est bon
Bien joué !

Bon, je vais essayer de voir comment tu es arrivé là ...

merci !

[Bleyblue]

Daccord je vois, mais alors pourquoi est ce que les 1/3 1/2 et 1/6 ne sont ils pas aussi élevés à la puissance 4 (et à la puissance 1)?

Merci

[shokin]

Youhou ! j'ai failli douter en voyant ces Combinaisons...

J'ai simplement multiplié la proba de chaque maladie par les probas exposées selon la donnée (oui^4 non^1).

Au numérateur, celle qui nous intéresse.

Au dénominateur, la somme de celles qui étaient possibles d'aboutir à 4 acceptations et un non (à la Constitution Européenne [ya 2 n ? ]).

Ya un boutte que je n'ai plus fait de proba. ça me fait une révision !

Shokin

[shokin]

Daccord je vois, mais alors pourquoi est ce que les 1/3 1/2 et 1/6 ne sont ils pas aussi élevés à la puissance 4 (et à la puissance 1)?

Merci

Il y a eu 5 tests, 4 positifs et 1 négatif.

Monsieur Sain n'est tombé malade qu'une fois au plus durant une période, période seule pour laquelle les 5 tests ont été effectués. [Si ces tests avaient été effectués pour plusieurs périodes d'éventuelle maladie, ç'eût changé la donne.]

Shokin

[Bleyblue]

Au numérateur, celle qui nous intéresse.

Au dénominateur, la somme de celles qui étaient possibles d'aboutir à 4

Oui ça j'avais compris, simplement je calculais mal les dénominateurs et numérateurs en questions ...

Je ne suis pas doué quand même hein ...

Merci !

[Bleyblue]

Il y a eu 5 tests, 4 positifs et 1 négatif.

Monsieur Sain n'est tombé malade qu'une fois au plus durant une période, période seule pour laquelle les 5 tests ont été effectués

Ah oui, en fait il ne tombe malade qu'une fois, même si on lui fait faire plusieurs tests ...

Merci

[shokin]

Ah oui, en fait il ne tombe malade qu'une fois, même si on lui fait fait plusieurs tests ...

Merci

De rien.

Quoique... on ne sait jamais... il a peut-être guéri pour tout de suite retomber malade... ou guéri juste avant le test

Bref ! le problème de monsieur Sain est résolu !

Shokin

[Bleyblue]

Quoique... on ne sait jamais... il a peut-être guéri pour tout de suite retomber malade... ou guéri juste avant le test

Ce serait en contradiction avec l'énoncé non ? Selon celui ci toute la population est atteinte (1/2 par A1, 1/6 par A2, 1/3 par A3) ... ou alors je suis encore à coté de la plaque et j'ai mal compris ce que ça voulait dire ...

[shokin]

Non, non, tout est juste.

Je vais chercher la petite bête là où il n'y en a pas.

C'est également pour montrer nos limites, et que ce n'est pas si grave. Puisqu'on aurait guéri avec succès monsieur Sain de sa maladie. [On ne va pas faire des tests sur des maladies dont on ne connaît pas le remède, corrompus comme on est. ]

NB : tout ce que je viens de dire est HS.

Tout est bon ! Au prochain problème !

Shokin

[Bleyblue]

NB : tout ce que je viens de dire est HS.

Oui j'avais bien compris tu sais

Au prochain problème !

Je lui ai réglé son compte en deux secondes le prochain problème
Je m'améliore, mais tellement lentement ...

[knezette]

Salut;
voila mon problème:
Combien de fois doit on jeter un dé pour que la probabilité d'obtenir un 6 soit plus grande que 1/2?
Je vous prie de bien vouloir me proposer des idées je suis coincée.
J'ai essayé avec la loi binomiale mais je ne sais vraiment pas comment résoudre l'équation avec le ( n!) pour déterminer n .
Merci d'avance

[most]

comme même une erreur dans la question: a)
la réponse est:
P(A3/positif)=(1/3*0.8)/(1/2*0.2+1/6*0.3+1/3*0.8)

[toutoupouts]

Bonjour,

Je relance le topic car j'ai aussi des difficultés dans la comprehension de certains execices de probabilités. J'ai par exemple :
2 bourses A et B.
La bourse A contient 6 pieces, 4 pieces de 5 cents et 2 pieces de 20 cents
La bourse B contient 6 pieces, 3 pieces de 5 cents et 3 pieces de 20 cents.
On nous dit que l'on a deux fois plus de chances de tomber sur la bourse B.

1ere question,
Si on prend au hasard une bourse, quelle est la probablité de tirer un piece de 5 cents ?

Ma question est la suivante, comment faut il raisonner avec le fait que l'on a deux fois plus de chance de choisir la bourse B plutot que la A ? Faut il diviser par 2 la probabilité de tomber sur une piece de 5 cents dans la bourse A ?

Merci d'avance pour votre aide