Proba conditionnelle : les 3 prisonniers

[invitea84f33ae]

Voilà un énoncé et deux solutions aux résultats différents, pleines de logiques autant l'une que l'autre. Entendu à la Fac de Poitiers, la prof, agrégée ne savait plus...
L'énoncé est très simple/
3 prisonniers PA,PB,PC sont conduits dans 2 cellules après qu'on leur ait dit que parmi eux, il y en avait 2 qui étaient condamnés à mort ( ils ne savent pas lesquels ). On note A l'événement PA est condamné à mort. On a alors p(A)= 1/3
PA est conduit dans la 1ère cellule. PB, et PC sont conduits dans la deuxième.
le geolier va alors voir PA et lui dit. Dans l'autre cellule, il y a PB qui est condamné.
Sachant cette information notée I, quelle est la probabilité que PA soit condamné ?

1ère réponse : parmi les 2 prisonniers PA et PC, il en reste un qui est condamné, donc p(A/I) = 1/2
2ème réponse : l'information n'apporte rigoureusement rien à A car de toutes façons, dans l'autre cellule il y avait obligatoirement au moins 1 condamné à mort. Que PA sache que PB ou PC soit l'un de ces condamnés ne modifie en rien la situation de son propre sort, donc la probabilité qu'il soit lui-même reste condamné n'est pas modifiée et vaut toujours 2/3.
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[invitea84f33ae]

Voilà un énoncé et deux solutions aux résultats différents, pleines de logiques autant l'une que l'autre. Entendu à la Fac de Poitiers, la prof, agrégée ne savait plus...
L'énoncé est très simple/
3 prisonniers PA,PB,PC sont conduits dans 2 cellules après qu'on leur ait dit que parmi eux, il y en avait 2 qui étaient condamnés à mort ( ils ne savent pas lesquels ). On note A l'événement PA est condamné à mort. On a alors p(A)= 1/3
PA est conduit dans la 1ère cellule. PB, et PC sont conduits dans la deuxième.
le geolier va alors voir PA et lui dit. Dans l'autre cellule, il y a PB qui est condamné.
Sachant cette information notée I, quelle est la probabilité que PA soit condamné ?

1ère réponse : parmi les 2 prisonniers PA et PC, il en reste un qui est condamné, donc p(A/I) = 1/2
2ème réponse : l'information n'apporte rigoureusement rien à A car de toutes façons, dans l'autre cellule il y avait obligatoirement au moins 1 condamné à mort. Que PA sache que PB ou PC soit l'un de ces condamnés ne modifie en rien la situation de son propre sort, donc la probabilité qu'il soit lui-même reste condamné n'est pas modifiée et vaut toujours 2/3.

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Une erreur au début du texte....
Lire on a alors P(A) = 2/3 et non p(A) = 1/3

[invitedb5bdc8a]

C'est la première réponse qui est la bonne. La probabilité, au départ que PB soit condamné à mort est 2/3 (comme pour les autres).
La probabilité conditionnelle que PA soit condamné à mort Sachant PB condamné est la probabilité qu'au départ A et B soient les 2 condamnés (soit 1/3, un des 3 cas possibles) divisé par la probabilité que B soit condamné soit:
(1/3) / (2/3) = (1/2)

Cela peut paraitre paradoxal, mais le fait de savoir de manière certaine le sort de B change l'estimation que l'on fait de son propre sort. Ce n'est qu'une estimation. Nous sommes ici dans un cas de hasard à variable cachée, donc en fait le sort de A est déterminé dès le début, il ne le sait pas c'est tout.

[invitea84f33ae]

C'est la première réponse qui est la bonne. La probabilité, au départ que PB soit condamné à mort est 2/3 (comme pour les autres).
La probabilité conditionnelle que PA soit condamné à mort Sachant PB condamné est la probabilité qu'au départ A et B soient les 2 condamnés (soit 1/3, un des 3 cas possibles) divisé par la probabilité que B soit condamné soit:
(1/3) / (2/3) = (1/2)

Cela peut paraitre paradoxal, mais le fait de savoir de manière certaine le sort de B change l'estimation que l'on fait de son propre sort. Ce n'est qu'une estimation. Nous sommes ici dans un cas de hasard à variable cachée, donc en fait le sort de A est déterminé dès le début, il ne le sait pas c'est tout.

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cela parait, cela est, imparable. Dès lors réponse 2/3 ne peut-être que fausse.
Et l'on ressort soulagé, mais pas au niveau suivant : comment formuler clairement l'explication de l'erreur du deuxième raisonnement, autrement que par une preuve parallèle d'un résultat contraire ? Puisqu'erreur il y a , peut-on l'expliciter sans notion complexe telle que "variable cachée" par exemple. Où se situe l'erreur quand on affirme que l'info I ne modifie pas le sort de A ? ( on sent que c'est faux, mais on parvient à dire pourquoi avec des mots )

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

bonjour,
on ne sait pas qu'elle cellule contient les condamnés mais au mini 1/2 .
le gardien anonce: pb est condamné cela ne change rient il y a toujours un condamné dans une cellule d'où pA a toujours 1/2 d'être dans la mauvaise cellule, donc au départ sans l'information, il pouvait y avoir un condamné dans chaque cellule.
l'information change tout. l'information est : dans l'autre cellule pb est condamné à ce moment là, pc a 1/2 d'être condamné, car la supposition qu'il y ait un condamné par cellule reste entière! je dirai que pA a 2/4 soit 1/2, mais si le gardien sait qu'entre pb et pc c'est pb qui est condamné, alors pA a une chance de plus d'être condamné , 2/3...

[invite9e95248d]

Non, il est clair que de savoir précisément si c'est B ou C qui est condamné ne change pas la probabilité d'etre soit meme condamné.
En fait il me semble que le probleme se pose normalement plutot dans ce sens:
P(A)=2/3 mais P(A/B)=1/2.
Or savoir que c'est B ou C qui est condamné ne change rien donc la probabilité que A soit condamné est de 1/2 dès le départ.
Ca nous parait paradoxale car intuitivement on calcul directement la proba conditionnelle

[leg]

Non, il est clair que de savoir précisément si c'est B ou C qui est condamné ne change pas la probabilité d'etre soit meme condamné.
En fait il me semble que le probleme se pose normalement plutot dans ce sens:
P(A)=2/3 mais P(A/B)=1/2.
Or savoir que c'est B ou C qui est condamné ne change rien donc la probabilité que A soit condamné est de 1/2 dès le départ.
Ca nous parait paradoxale car intuitivement on calcul directement la proba conditionnelle

folky, si entre b et c je sais que c'est b qui est condamné,cela change tout car c n'est pas condamné et A l'est obligatoirement...

[invitedb5bdc8a]

Pour comprendre pourquoi il en est ainsi, il faut revenir aux hypothèses implicites du départ. Au début on sait avec certitude qu'il y a 2 condamnés parmi les 3 prisonniers. Il y a donc 3 cas de figure:
1) A et B sont condamnés. C est épargné.
2) A et C sont condamnés. B est épargné.
3) B et C sont condamnés. A est épargné.
On en "déduit" que la probabilité d'un des cas est de un sur 3, ce qui est une hypothèse plausible en l'absence de toute autre information. Mais il s'agit d'une hypothèse qui n'a rien de vrai de manière absolue. C'est juste notre meilleure estimation de la situation.
Le groupage par cellules sert juste à souligner la question et n'apporte aucune information supplémentaire.
La probabilité que dans la seconde cellule (celle de Bet C) il y ait au moins un condamné est bien de 100%.
Le fait d'avoir une information supplémentaire change notre estimation de la situation: si on sait que B (ou C) est condamné à coup sûr alors on peut éliminer le cas n°2 (n°1). La probabilité de 1 ou 3 passe à 100%.
Notre estimation est bien modifiée par l'information supplémentaire. Il n'y a pas de paradoxe puisque il s'agit bien d'une "estimation". Or il est normal qu'une estimation dépende des informations dont on dispose.
C'est le cas pour le tiercé par exemple, où l'on estime les probabilité de gain des chevaux d'après ce que l'on sait.

[invite9e95248d]

folky, si entre b et c je sais que c'est b qui est condamné,cela change tout car c n'est pas condamné et A l'est obligatoirement...

euh j'ai pas compris pourquoi si B est condamné alors C ne l'est pas et A oui

[leg]

euh j'ai pas compris pourquoi si B est condamné alors C ne l'est pas et A oui

si tu sais PRECISEMENT que b ou c est condamné, tu sais que l'autre ne l'est pas, donc A l'est obligatoirement, comme le dit pi-r2 tu as l'information et cela change tout! sinon tu ne peut savoir PRECISEMENT.

[invite9e95248d]

euh tu t'emballes à mon avis c'est pas parce que B est condamné que C ne l'est pas ^^
Pour reprendre ce qu'a écrit pi-r2
1) A et B sont condamnés. C est épargné.
2) A et C sont condamnés. B est épargné.
3) B et C sont condamnés. A est épargné.
Tu vois bien que B étant condamné C peut l'etre aussi.