logique

[POPOUCOSAM]

Bonjour à tous,


Est ce que quelqu'un serait assez patient pour m'expliquer le plus clairement et complètement possible, l' assertion suivante:

Le tout est supérieur à la somme des parties

Merci

-----

[invitea0b22930]

Le tout est supérieur à la somme des parties

Nous sommes ici sur un forum dédié aux mathématiques.
Cette 'assertion' ne possède mathématiquement aucun sens.
Que désigne le 'tout' qu'elle est l'opération 'somme' que désigne la relation 'est supérieur à'. Tout cela nous n'en savons rien. Alors comment statuer?
Si nous essayons de rapprocher cette affirmation d'un énoncé mathématique connu, il faut certainement se tourner vers la théorie des ensembles et la comprendre comme "Un ensemble, dans sa totalité contient plus d'éléments que la réunions de toutes ses parties". Dans ce cas cet énoncé est manifestement faux.
On peut donner un sens (commun) à cet affirmation (non mathématique), lorsqu'on veut mettre en évidence l'existence d'un 'ciment' d'un 'lien' entre les composants d'un individu (conçu comme le 'tout'). En ce sens un humain c'est plus que l'ensemble constitué par un foie, une rate, une cervelle, etc...

[POPOUCOSAM]

Bonjour,

donc, dans la théorie des ensembles, peut on m' expliquer comment un ensemble contient plus d' éléments que la réunion de toutes ses parties?!!

merci

[invite986312212]

un ensemble est égal à la réunion de ses parties.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0b22930]

"Un ensemble, dans sa totalité contient plus d'éléments que la réunions de toutes ses parties". Dans ce cas cet énoncé est manifestement faux.

Il me semble que c'est exactement le contraire que j'ai affirmé !
Cependant, en sens inverse, on peut dans un ensemble, trouver des parties 'propres' (distinctes de l'ensemble entier) ayant autant d'éléments que l'ensemble complet au sens de la théorie des ensembles. Il y a autant d'entiers pairs que d'entiers, bien qu'il y ait autant d'entiers impairs que de pairs et que l'ensemble de tous les entiers soit réunion des pairs et des impairs. Il y a là un paradoxe apparent, mais qui ne pose plus aucun problème au mathématicien.
Inversement l'affirmation "Le tout est plus que la somme des parties" (affirmation, je le répète, n'ayant aucun sens mathématique) exprime qu'une voiture est plus qu'un amas de pièces détachées. Ces pièces sont assemblées pour coopérer dans un but précis: "l'avancement d'une tonne de ferraille et que quelques dizaines de kilos de viande à l'intérieur".

[POPOUCOSAM]

Cependant, en sens inverse, on peut dans un ensemble, trouver des parties 'propres' (distinctes de l'ensemble entier) ayant autant d'éléments que l'ensemble complet au sens de la théorie des ensembles. Il y a autant d'entiers pairs que d'entiers, bien qu'il y ait autant d'entiers impairs que de pairs et que l'ensemble de tous les entiers soit réunion des pairs et des impairs. Il y a là un paradoxe apparent, mais qui ne pose plus aucun problème au mathématicien.

D' accord, dans ce cas, existe t il un formalisme mathématique désignant ce paradoxe? Et pourquoi cela ne pose t il pas de problème au mathématicien; un de ses buts est bien de compter, ordonner et classer!! Comment peut il le faire dans cet exemple des entiers pairs et impairs?

[invitea0b22930]

Nous estimons que deux ensembles ont le même nombre d'éléments (cardinal) s'ils peuvent être mis en bijection. (voir ce terme).
Ainsi l'application n ---> 2n est une bijection de l'ensemble de tous les entiers sur l'ensemble des pairs, les deux ont donc le même cardinal.
l'application n ---> n+1 est quand à elle une bijection de l'ensemble des pairs sur les impairs, on peut donc dire à nouveau qu'ils ont même cardinal.
Ainsi si nu désigne le nombre d'éléments de l'ensemble des entiers naturels, ce qui vient d'être dit se traduit par:
nu=nu+nu
C'est donc une arithmétique différente de celle à laquelle on est habitué quand on calcule avec des nombres entiers (cardinaux finis).

[Médiat]

D' accord, dans ce cas, existe t il un formalisme mathématique désignant ce paradoxe? Et pourquoi cela ne pose t il pas de problème au mathématicien; un de ses buts est bien de compter, ordonner et classer!! Comment peut il le faire dans cet exemple des entiers pairs et impairs?

Ce n'est pas un paradoxe, mais un abus de langage, le "nombre d'éléments" d'un ensemble infini n'existe pas avec le sens que nous dicte l'intuition que nous pouvons en avoir à partir des ensembles finis.
On ne définit pas le cardinal d'un ensemble comme son nombre d'éléments, mais on définit le nombre d'éléments comme son cardinal (une certain classe d'équivalence basée sur l'existence de bijections).

La dessus certains mathématiciens se sont posé la question d'une autre définition pouvant sauvegarder un peu plus de ce que nous dicte l'intuition (mais pas tout), je dois avoir les références chez moi, je les posterai ce soir (en tout état de cause et à titre personnel, je trouve cette étude intéressante, mais peu convaincante).

[POPOUCOSAM]

On ne définit pas le cardinal d'un ensemble comme son nombre d'éléments, mais on définit le nombre d'éléments comme son cardinal (une certain classe d'équivalence basée sur l'existence de bijections).

Oups, pas très clair pour moi?!?!

[Médiat]

Oups, pas très clair pour moi?!?!

Sais-tu ce qu'est une relation d'équivalence ?

[Médiat]

je dois avoir les références chez moi

Les voilà :

http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/21.pdf
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/22.pdf

(il y a d'autres papiers sur http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers, dont certains trsè intéressants)

Une recherche sur le net portant sur le nom des auteurs ramène d'autres références.

[POPOUCOSAM]

Sais-tu ce qu'est une relation d'équivalence ?

De manière sûre, non je ne crois pas!!

J' ai lu des choses comme aRb, où R serait une relation d'équivalence entre a et b, mais, sauf intuitivement, je n' en connais pas le sens mathématique exact!!!

[POPOUCOSAM]

Les voilà :

http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/21.pdf
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/22.pdf

(il y a d'autres papiers sur http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers, dont certains trsè intéressants)

Une recherche sur le net portant sur le nom des auteurs ramène d'autres références.

Merci,

Je les consulte dès ce soir.

[Médiat]

Je les consulte dès ce soir.

Si tu ne maîtrises pas la notion de relation d'équivalence, j'ai peur que ton niveau de maths soit un peu court pour ces articles, qui ne sont pas de la vulgarisation, mais des textes de chercheurs.

[inviteaf1870ed]

De manière sûre, non je ne crois pas!!

J' ai lu des choses comme aRb, où R serait une relation d'équivalence entre a et b, mais, sauf intuitivement, je n' en connais pas le sens mathématique exact!!!

Je te suggère de bien regarder les éléments "de base" de la théorie des ensembles avant de regarder les histoires d'infini, qui sont assez rapidement contraires à l'intuition.

Je te suggère de regarder par exemple "l'hotel d'Hilbert" qui introduit assez bien le problème : http://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert

[POPOUCOSAM]

Je vais commencer par les documents d' Ericc!!!

Merci à tous,

Bonne soirée, à bientôt

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Le one-to-one : un précieux outil

Imagine une grande soirée dansante. Vient l’heure des slows. Les couples se forment, un homme avec une femme. Pas de déçu ce soir car tous les hommes et toutes les femmes ont trouvé un partenaire avec qui danser. Nous ne savons pas combien d’hommes (ni de femmes d’ailleurs) sont présents à la fête mais nous savons qu’il y a autant d’hommes que de femmes !
La formation de tous ces couples (sans déçu) établit une correspondance parfaite entre l’ensemble des hommes et celui des femmes ;
Cette correspondance parfaite est qualifiée de bijection par les mathématiciens. Les anglais emploient l’expression significative one-to-one. C’est un outil précieux pour établir que deux ensembles, pouvant être formes d’objets très différents, ont le même cardinal.

Patrick

[POPOUCOSAM]

Bonjour Médiat,

Oui effectivement, cela n' est pas du tout de mon niveau!!(et en anglais en plus!!!).
Je vous remercie tout de même pour ces archives qui me seront certainement utiles un jour, au fil de mes études.
Le théorème de Cantor et le principe des tiroirs de Dirichlet vont déjà m' occuper quelques temps!!!Merci Ericcc
Je pense quand même avoir compris que la notion de cardinal pour des ensembles infinis n' est pas celle que l' on a intuitivement pour des ensembles finis.
Je vais étudier et voir si je peux soulever d' autres questions et celle-ci, qui restent en suspend.....
A bientôt pour d' autres questions.

Cordialement