Paradoxe de l'infini

[invite3f97b78c]

Bonjour à tous

J'ai trouvé quelque chose d'assez intriguant sur le net, voici l'adresse;

http://www.col-camus-soufflenheim.ac...p?IDP=81&IDD=0

qui expose les divers aspects que peut prendre la notion d'infini.

Voici ce qui m'a laissé perplexe quelques instants, un extrait de la page web :

Un petit exercice accessible à tous qui prouve que 0,99999… = 1:

Si on pose : x = 0, 99999…, alors :

10 x = 9, 9999…
10 x – x = 9,9999… – x
9 x = 9,9999… – 0,9999…
9 x = 9
x = 1

d’où : 0,99999… = 1

Curieux non ?

Bien sûr il y a une infinité de 9 derrière la virgule, je pense avoir trouvé le hic dans cette démonstration, je vous soumets donc ceci à votre critique ...

A bientôt

Pascal
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[invite4793db90]

Salut,

je me permets de t'indiquer la FAQ où cette question est abordée.

Cordialement.

[invite88ef51f0]

Salut,
Le sujet a déjà été abordé maintes fois... Les points de suspension après les 9 indiquent par définition que le nombre recherché est la limite de la suite 0,9, 0,99, 0,999, ... Cette limite est rigoureusement égale à 1.

[invitea77054e9]

Tu peux le démontrer plus rigoureusement si tu veux.

Moi je pense à la démo suivante:

On considère la série de terme général . On a :
= 10, vu c'est c'est une série géométrique de raison positive et <1.
Or, cette série représente justement 9.9999...., d'où 9.9999...=10, et par suite 0.9999.....=1.


On peut aussi montrer que pour tout A>0, l1-0.9999...l<A. Je te met au défis de trouver un A>0 ne vérifiant pas cette égalité .


Le point essentiel à retenir ici est la notion de nombres réels définis comme limite d'une suite de nombres rationnels.
Si on considère la suite des sommes partielles de la série ci-dessus, elle admet des termes tous rationnels, et sa limite notée 0.99999... vaut 1 comme on l'a vu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f97b78c]

J'ai été un peu rapide avec ma question, effectivement j'aurai dû explorer un peu plus le forum sur cette question.

Encore merci pour vos réponses

Pascal