Matrice mon ami

[invite7ca061ba]

Une double question dans un seul post. Je bloque sur un DM, toute aide est la bienvenue

1) R^{^n} est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit f un automorphisme de R^{^n} et A sa matrice dans la base canonique.

Dans les questions précédentes j'ai montré que :
* la matrice de M_n(R)^tAA est symétrique à valeurs propres strictements positives.
* Il existe une matrice symétrique S de M_n(R) et une matrice orthogonale O de M_n(R) telles que S²=^tAA et O = AS^-1
* f se décompose sous la forme f=ros où s est un endomorphisme symétrique et r un automorphisme orthogonal.
* et enfin que ker(S-a^{^1/2}I) = ker(^tAA-aI) où a et ^{a^(1/2)} sont valeurs propres respectives de ^tAA et S.

Ils demandent de montrer l'unicité de S et d'en déduire l'unicité de la décomposition f=ros...
Je ne vois même pas quoi utiliser

2) Soit D une matrice de Mn(R) vérifiant MD=DM
On veut prouver que pour toute matrice M de Mn(R) il exite un réel a tel que D=a.In
J'ai pensé à utiliser la contraposée... Auquel cas c'est simple mais je ne suis pas sur de ma contraposée :
Si pour tout réel a D différent de a.In alors il exsite une matrice M de Mn(R) telle que DM soit différent de MD.

Merci de votre aide
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[bubulle_01]

Bonjour,

Il suffit de tester le cas sur la base de :
.

[invite7ca061ba]

Quel cas ?
Pour la question 2) j'ai trouvé une matrice M qui marche mais je ne sais pas si ma contraposée est correcte. Je ne sais pas si c'est ceci dont tu parlais.

[invite125bfd82]

pour la 2) tu devrai pluto faire par l'absurde c'est plus simple tu considera que ta matrice D est diferente de a*In et ensuite tu montre que si c'est le cas M*D est different de D*M

[A voir en vidéo sur Futura]