Domaine d'analycité

[invitead88f3c2]

Bonsoir,

Je suis en licence de physique donc pas vraiment matheux et j'ai quelques petits problèmes pour déterminer les domaines d'analycités de certaines fonctions.

Pour f(z) = 1 / (z^4 + 1)
Le domaine d'analycité est D=C \ { z | z^4 = -1}
En passant par l'exponentielle et en écrivant l'écriture complexe du log j'arrive sur exp { 4(log|z| + i (theta + 2kh) ) } = - 1. En développant et en remarquant que exp(8kpi) = 0 on a :
z ^4 = - 1 <=> exp ( 4 log | z |) cos ( 4 theta ) = - 1 et sin( 4 theta) = 0
Pour moi on a donc D= C \ { z | |z|=1, theta = 2n pi / 4}.
mais dans la correction du prof, le theta est (2n+1)pi/4, je ne comprend pas pourquoi .

Une autre fonction qui me pose problème est f(z)=tan(pi z). D= C \ { z | cos ( pi z ) = 0 }
En remplaçant z par x +iy et en utilisant les formules de trigo, on a:
cos(pi x) cos(pi y i ) - sin ( pi x) sin (pi y i ) = 0. cos et sin ne peuvent pas s'annuler pour un même angle, donc on prend par exemple: cos(pi x ) = 0 et sin (pi y i ) = 0. Le domaine est donc C privé de z=x+iy où x = 1/2 +k et y = -ik (avec k appartient à Z).
Je ne suis pas trop sur de mon raisonnement, je passe souvent à côté de subtilités/passe à côté de quelque chose.

Et enfin f(z)= exp (1/z). Je suis tenté de dire que c'est C * mais je sens le piège


merci d'avance
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[thepasboss]

Bonsoir

Pour le deuxième cas je serais plutôt passé par la formule d'euler.

ce qui t'amène à exp(2Pi*Z) = -1

[invitead88f3c2]

exp ( 2 i Pi z ) = - 1 plutôt non ?

[invitead88f3c2]

Pour le deuxieme cas tan(pi z), je viens de comprendre mon erreur, je ne peux pas dire y=-ik, y étant réel, donc je suis obligé de dire y= 0. On retrouve la même chose avec Euler et c'est plus rapide, merci thepasboss

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Pour le premier cas, vous résolvez mal et , c'est tout. Faites un dessin !