Série complexe, exercice

[invite945d3fbd]

Bonjour,
je bloque sur un problème : Prouver que le rayon de convergence de la série vaut et analysez la convergence pour , et .

Mon essai :
Le rayon de convergence vaut . Le problème est que je n'ai pas l'expression de .
Je crois qu'il faut que je réécrive la série sous la forme . Mais je bloque sur cela. Pouvez-vous me donner un coup de main.
Merci d'avance!
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[inviteaf48d29f]

zⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ dans l'expression, c'est intéressant. La plupart des a_n sont nuls. Vous avez essayez les théorèmes de sommation par paquets ?

[invite945d3fbd]

zⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ dans l'expression, c'est intéressant. La plupart des a_n sont nuls. Vous avez essayez les théorèmes de sommation par paquets ?

Non je n'ai pas essayé, je ne vois pas comment les appliquer. De plus je ne sais pas comment obtenir les . ()

[invite125bfd82]

en gros pour moi i lfaut que tu fasse un changement de variable c'est a dire tu nomme t=n(n+1) et tu remplace dans ton expression tu vas trouver un truc du genre n=(-1-i*racine(1-4t))/2 et tu prend la formule que tu vas faire tendre vers +infini c'est (abs(An+1/An)) cela vas tendre vers L et ensuite ton rayon de convergence c'est R=1/L
Tu comprend ou pa???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite945d3fbd]

en gros pour moi i lfaut que tu fasse un changement de variable c'est a dire tu nomme t=n(n+1) et tu remplace dans ton expression tu vas trouver un truc du genre n=(-1-i*racine(1-4t))/2 et tu prend la formule que tu vas faire tendre vers +infini c'est (abs(An+1/An)) cela vas tendre vers L et ensuite ton rayon de convergence c'est R=1/L
Tu comprend ou pa???

Je comprends l'idée! Je vais essayer. Merci beaucoup.

[invite125bfd82]

je vien de le faire c long mais ca marche en tout cas le rayon est bien egale a 1 tu le montre par equivalent pour trouver la limite ca va beaucoup plus vite!!!!

[invite945d3fbd]

je vien de le faire c long mais ca marche en tout cas le rayon est bien egale a 1 tu le montre par equivalent pour trouver la limite ca va beaucoup plus vite!!!!

Si c'est pas trop demandé, j'aimerais bien voir quelques détails.

J'ai trouvé que , 2 racines donc. Le problème semble compliqué.
Si je garde la racine avec le signe + devant, la série vaut .
Donc j'ai maintenant le coefficient et il vaut . Mais je ne suis pas sûr que ça m'aide. De plus, comment je justifie que j'abandonne une racine?

[invite125bfd82]

tu dois garder celle avec le signe positif car n est tjrs positif donc t doit tjrs l'etre aussi!!
de plus les At ne valle pas cela il vale l'inverse de ce que tu trouve!!
Ensuite tu fais valeur absolue de A(t+1)/A(t) et tu trouve sa limite et ton rayon de convergence est egale a l'inverse de la limite trouvé

[invite945d3fbd]

tu dois garder celle avec le signe positif car n est tjrs positif donc t doit tjrs l'etre aussi!!
de plus les At ne valle pas cela il vale l'inverse de ce que tu trouve!!
Ensuite tu fais valeur absolue de A(t+1)/A(t) et tu trouve sa limite et ton rayon de convergence est egale a l'inverse de la limite trouvé

Ok merci!
Pardon je voulais dire que .

[invite125bfd82]

c ca bonne chance pour la suite!!!

[invite945d3fbd]

c ca bonne chance pour la suite!!!

Ok merci, j'ai trouvé comme limite , dont .
Je vais faire la suite de l'exo tout seul, merci infiniment.