Exercice tres complexe de complexe

[invite03aa2813]

Bonjour à tous,
je sollicite votre aide pour cet exercice de complexe qui reste pour moi un mystere :

P est un polynôme défini dans l'ensemble des complexes par P(z) = z(cube)+ z² - 4z+ 6

1.Démontrer que pour tout complexe z on a [P(z)](barre)= P(z barre)

2. Vérifier que 1+i est racine de ce polynôme . En utilisant le théorème de factorisation des polynômes, montrer que l'on peut écrire P(z) sous la forme
P(z) = (z-(1+i)) (az²+bz+c).

3. En utilisant la première question, trouver une deuxième racine, et en déduire une troisième.

mes réponses: 1) et 2) j'ai fait des calculs d'une page pour chaque question mais qui ne me mènent a aucun resultat. Y a-t-il une méthode ?
3) y-a-t-il une formule?

merci beaucoup d'avance
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[invite34b13e1b]

Salut,
Pour la 1 tu peux tjrs bourriner en posant z=a+ib...

[invitebe08d051]

Pas besoin de poser quoi que ce soit !

Le 1) est un calcul direct, reste seulement à savoir que le conjugué de la somme est égal à la somme des conjugués.

[invite6c8074bd]

1) il faut aussi montrer que le cube et carré de z (barre) est égale au barre de cube et de carré de z.
2) c'est facile de vérifier la racine. ensuite faites la différence entre p(z) et p(1+i), sachant que p(1+i)=0, utiliser aussi le théorème x(carré)-y(carré)=(x-y)*(x+y) , de même x(cube)-y(cube)=...pour trouver que a=1, b=3i+4 et c=7i-3. vérifier mes calcules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3b56fce]

Personnellement, pour la trois j'aurai résolu de façon bête et méchante l'équation du second degré dans C pour trouver les racines... mais je voit pas comment utiliser la première question :S