Convergence série complexe

[chrisric]

bonsoir,
considérons la suite u(n) = exp(2 pi i n x) avec x irrationnel donné.
Cette suite n'est pas périodique.
On doit montrer que la série sigma u(n) pour n allant de 1 à l'infini tend vers zéro.
J'ai pu montrer que si x est supérieur à 1, on se ramène à un irrationnel compris entre 0 et 1. Mais après, je bute.
Mon idée est que on a des nombres de module 1 et dont l'argument est compris entre 0 et 2pi, arguments tous différents et en quantité infinie, mais je n'arrive pas à la formaliser.
Merci d'avance pour votre aide.
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[Jeanpaul]

Ce n'est jamais qu'une série géométrique et je ne vois pas pourquoi elle tendrait vers zéro.

[God's Breath]

Avec un terme général u(n) qui n'est pas de limite nulle, je ne vois pas comment la série pourrait converger.

[chrisric]

bonjour,
la question est dans un sujet de concours SPE, il faut montrer que la somme est nulle.
L'image que j'ai de cette suite u(n) est que tous (?) les points du cercle de rayon unité et de centre 0 sont les affixes de cette suite. Donc, la somme des u(n) devient une intégrale : int de 0 à 2pi exp(i a)da qui vaut bien 0.
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

la question est dans un sujet de concours SPE, il faut montrer que la somme est nulle.

Et pourtant la somme ne peut pas être exister...

[Jeanpaul]

Il ne manquerait pas un 1/n quelque part ?

[chrisric]

bonsoir,
je n'ai pas le sujet. Mais je viens d'apprendre qu'en fait, il faut montrer que lim (p tendant vers infini) (somme de 1 à p u(n) ) /p tend vers zéro.
Je comprends qu'en fait la somme est peut-être finie mais non nulle.
Désolé pour vous avoir fait chercher.
Merci.

[God's Breath]

Tu as en fait la réponse à ta question depuis le message #2 de Jeanpaul : la suite est géométrique, .

Tu peux donc calculer explicitement , puis prouver très facilement que tend vers 0.

Le fait que soit rationnel ou irrationnel n'intervient pas dans ce calcul.

[thepasboss]

Bonjour, euh si x est rationnel n'arrive t'on pas à la conclusion qu'à partir d'un certain rang N la suite u(n) est constante de valeure 1 ? Et dans ce cas La série S(p) / p va tendre vers 1 non ?

[chrisric]

bonsoir,
dans le cas où x est rationnel (a/b premiers entre eux), la suite est périodique de période b. Mais si x est irrationnel, la suite n'est plus périodique.
Quelle information cela apporte-t-il sur la convergence ? J'avoue que je n'ai pas approfondi la question.

[God's Breath]

On a une série géométrique de raison .

Leproblème ne porte pas sur le fait que soit rationnel, mis sur le fait qu'il soit entier.

Si est entier, alors , et ...

Si n'est pas entier, alors , et , donc est bornée, et est de limite nulle.