groupes topologiques et filtre de Cauchy

[invite0e446873]

Peut- on trouver un exemple (simple) de groupe topologique G tel que:

toute suite de Cauchy est convergente mais il existe des filtres de Cauchy sur G ne convergeant pas(dans G) ?
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[invite0e446873]

Bonsoir à tous;

Personne n'est intéressé ou suis-je oublié?

cordialement.

[invite4ef352d8]

Salut !

on considère E l'espace des fonctions de R dans R, munie de la topologie produit.

c'est un groupe topologique, il est complet en tant que produit de groupe topologique complet (au sens de bourbaki ie les filtre de cauchy converge)


maintenant considère F le sous groupe de E des fonctions dont le support (l'ensemble des points ou elle sont non nul) est dénombrable.

on peut montrer facilement que F est séquentiellement fermé, et que F est dense dans E (donc pas fermé)

du coup : E séquentiellement complet et F séquentiellement fermé dans E => F séquentiellement complet.
et F n'est pas fermé dans E qui est séparé => F n'est pas complet.

F est donc le contre exemple que tu cherche.

Note que de tel exemple sont nécessairement un peu compliqué car si la topologie admet une base dénombrable de voisinage la complétude séquentielle est équivalente à la complétude...

[invite0e446873]

Un grand merci à ksilver pour cette réponse savante que je vais

méditer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

De rien, Si il y à un passage que tu comprend pas ou que le vocabulaire que j'utilise n'est pas claire, je peux le détailler un peu plus... je suis passé vite sur certain point.

[invite0e446873]

C'est très gentil de ta part. J'ai compris le vocabulaire utilisé et je

me fais un plaisir de détailler tes explications .Si j'ai un problème majeur,

je te demanderai. Merci encore Ksilver .

Bien cordialement.