Exponentielle

[invite6b7c581e]

Bonjour,

Pour un entier naturel n fixé, on définit la fonction fn(x)=(x^(n+1))/e^x sur I=]0;+inf[

Questions:
1-Etudier les varations de f sur I
2-Montrer que f admet un maximum a determiner
3-En déduire que pour tout x€I, 0<(x^n)/(e^x)<(1/x).((n+1)^(n+1))/e^(n+1)
4-En déduire lim (x->+inf)x^n/e^x et lim (x->+inf) e^x/x^n et lim (x->-inf) x^n.e^x pour tout n€N

Réponses:
1- Je vois à la calcumatrice qu'elle est croissante puis décroissante. Il me faut calculer sa dérivée mais je n'y arrive pas.
2- Je ne vois pas comment faut faire
3- Idem
4- Je trouvre lim (x->+inf)x^n/e^x=0, lim (x->+inf) e^x/x^n=+inf, et lim (x->-inf) x^n.e^x=0

Pouvez-vous m'aider svp.
-----

[invitec317278e]

pourquoi n'arrives-tu pas à calculer la dérivée ?? connais tu la formule de la dérivée du quotient de 2 fonctions?

[invite6b7c581e]

Je trouve f'(x)=((n+1)x^n.e^x-x^n+1.e^x)/e^2x . Alors e^2x est toujours positif donc il faut étudier le signe de ((n+1)x^n.e^x-x^n+1.e^x) mais la je bloque.

[invite57a1e779]

Il suffit de factoriser par .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b7c581e]

On a alors, f'n(x)=(x^n.e^x)(n+1-x)/e^2x