Equipotence

[invited66ae163]

Voilà je dois montrer que N (les entiers) est équipotent à N\{0}...

Je pensait considérer la fonction f définie sur N par: pour tout n de N, f(n)=n+1.
Puis montrer que f est injective de N vers N* mais aussi qu'elle est surjective.

Mais voilà je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le rédiger...

Quelqu'un pourrait m'aider ... MERCI !
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[Médiat]

Voilà je dois montrer que N (les entiers) est équipotent à N\{0}...

Je pensait considérer la fonction f définie sur N par: pour tout n de N, f(n)=n+1.
Puis montrer que f est injective de N vers N* mais aussi qu'elle est surjective.

Mais voilà je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le rédiger...

Quelqu'un pourrait m'aider ... MERCI !

Pour montrer que ta fonction est bijective, tu peux, par exemple montrer que l'équation en n :
f(n) = x a une et une seule solution pour tout x dans ton ensemble d'arrivée, c'est à dire IN\{0}, dans ton cas, c'est particulièrement facile.

[invite9eb6db85]

Tu as juste à considérer la fonction f(n)=n+1.
Et tu cherches si dans Df= N tu peux avoir f(x)=0
Ici tu es dans N donc c'est impossible, tu confirme la bijection et par conséquent ton équipotence.

Quelqu'un peut confirmer?

Voilà @++

[Flyingsquirrel]

Et tu cherches si dans Df= N tu peux avoir f(x)=0
Ici tu es dans N donc c'est impossible, tu confirme la bijection et par conséquent ton équipotence.

Non. Si ton raisonnement était valide alors serait en bijection avec car tout application définie sur le premier ensemble et à valeurs dans le second ne s'annule pas.

Le fait que n'admette pas de solution ne nous donne pas d'information sur l'injectivité ou la surjectivité de . Par contre, si était un morphisme de groupes, la résolution de cette équation permettrait de savoir si est injectif ou non (si était un morphisme de K-espaces vectoriels de dimensions finies on pourrait même conclure sur sa bijectivité).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9eb6db85]

Désolé pour ma mauvaise réponse.
Par contre je pense pas que la notion de "morphisme" ou de "K-espaces vectoriels de dimensions finies" ne soit connu à notre niveau, car je pense que tatiana07 est a peu pret de mon âge vu que je fais aussi le même genre d'exercice.

Mais alors comment démontrer facilement que "f(n) = x a une et une seule solution pour tout x dans ton ensemble d'arrivée, c'est à dire IN\{0}" comme le dit Médiat ??

[Flyingsquirrel]

Mais alors comment démontrer facilement que "f(n) = x a une et une seule solution pour tout x dans ton ensemble d'arrivée, c'est à dire IN\{0}" comme le dit Médiat ??

Pour montrer que l'équation (avec ) a au moins une solution il suffit de trouver un entier tel que ce qui n'est pas bien dur.
Pour prouver que la solution en question est unique il suffit de prouver que si alors ce qui n'est pas bien compliqué non plus.