Equipotence et cardinalité

[invite9eb6db85]

Je cherche à montrer que deux ensembles finis sont équipotents si et seulement si ils ont le même cardinal.

Voilà le début de ma démonstration:

Si on a une injection de A dans B, f(A) a le même nombre d'éléments que A, et aussi moins d'éléments que B. Par réciprocité des rôles f(B) a le même nombre d'éléments que B, et aussi moins d'éléments que A.
Si on a une surjection de A dans B, .......

La bijectivité de A dans B induit que les ensembles finis A et B sont équipotents et montrent bien qu'ils ont le même cardinal.


Quelqu'un pourrait m'aider à développer si l'idée est bonne bien sure ... Merci !
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[invitebe0cd90e]

Il y a un sens facile, en admettant que tu aies le resultat : Si A s'injecte dans B, alors Card(A) <= Card(B)

Si A et B sont equipotent tu as des injections des deux cotés, donc Card A < = Card B et Card B <= Card A donc Card A = Card B.

Dans l'autre sens, c'est sans doute plus simple avec la contraposée : la prop "Card A=Card B => A et B equipotent" est equivalente a la proposition "A et B non equipotent => Card A non egal a Card B".

Montre qu'il existe forcement soit une injection de A dans B, soit une injection de B dans A. Supposons qu'elle aille de A dans B, et suppose qu'ils ne sont pas equipotents. Le cardinal de l'image de A est Card A puisque l'appli est injective, et comme il existe des elements de B qui ne sont pas dans l'image et que ce sont des ensembles finis, Card B > Card A.

Je coupe un peu les cheveux en quatre, mais tout ca depend beaucoup de ce que tu admets deja comme etant vrai.

[Seirios]

Dans l'autre sens, c'est sans doute plus simple avec la contraposée : la prop "Card A=Card B => A et B equipotent" est equivalente a la proposition "A et B non equipotent => Card A non egal a Card B".

Il me paraît plus simple de passer par la définition même du cardinal : soient et ; donc il existe deux bijections et restivement de A dans et de B dans . Si n=p, alors on peut introduire la fonction identité qui va de dans . Ainsi, va de A vers B et est bijective, puisque composition de bijections, et donc A et B sont équipotents.

[Médiat]

Il me paraît plus simple de passer par la définition même du cardinal

En fait la bonne définition du cardinal est d'être une classe d'équipotence (définition valable même pour les ensembles infinis), donc, par définition, deux ensembles ont le même cardinal si et seulement si ils sont équipotents (même pour les ensembles infinis).
Quant au nombre d'éléments d'un ensemble, à part être le cardinal de cet ensemble, je n'en connais pas de définition.
Il va de soi que, toujours par définition, un ensemble fini est un ensemble de cardinal strictement plus petit que celui de IN, donc équipotent à un segment initial de IN, autrement dit à un sous ensemble de IN de la forme [0; n].
Je trouve cet exercice bien bizarre et propre à donner de mauvaises idées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je trouve cet exercice bien bizarre et propre à donner de mauvaises idées.

Si je reprends mon cours de cette année, on dit qu'un ensemble E est fini si et seulement si il existe tel que E est équipotent à ; n est alors unique, et on le définit comme le cardinal de E.
En utilisant cette définition, l'exercice est donc tout à fait sensé ; maintenant, je ne sais pas ce qu'il en est avec plus de recul...

[Médiat]

D'abord je me suis trompé, j'aurais dû écrire "sous ensemble de IN de la forme [0; n[", afin de prendre en compte l'ensemble vide.

Si je reprends mon cours de cette année, on dit qu'un ensemble E est fini si et seulement si il existe tel que E est équipotent à ; n est alors unique, et on le définit comme le cardinal de E.

Ce que je reproche à cet exercice c'est d'inverser la définition et la propriété ; sur le forum "Mathématiques du collège et du lycée" je n'aurais sans doute pas réagi, mais je trouve dommage de ne pas donner les bonnes définitions quand on peut le faire sans rien compliquer (je suis sans doute un vieux grincheux, mais je m'énerve quand je vois des notions importantes réduites à des recettes de cuisine ).

[Seirios]

je suis sans doute un vieux grincheux, mais je m'énerve quand je vois des notions importantes réduites à des recettes de cuisine

Mais c'est très bien, cela me permet de voir un peu plus loin que les recettes de cuisine que l'on me fait apprendre