Cardinalité d'un espace de Hilbert

invité576543 · 27/04/2009, 09h27

Bonjour,

Suite à une discussion sur les cardinaux infinis, je me suis posé la question du cardinal des espaces de Hilbert, en particulier ceux utilisés en physique.

Il me semble que la notion d'espace de Hilbert n'impose pas de cardinal particulier.

Le cardinal d'une base est une caractéristique d'un espace de Hilbert donné. Si on le note C, alors j'imagine que le cardinal d'un espace de Hilbert est $\text{[math]}$ . Est-ce correct?

Si C est le cardinal dénombrable, alors le cardinal de l'espace est la puissance du continu. Correct?

Par contre si C est la puissance du continu, alors le cardinal de l'espace est celui de P(R), $\text{[math]}$ . Correct?

Il semble qu'il y a des propriétés très différentes entre les deux types d'espaces de Hilbert. Le Wiki dit par exemple qu'un espace de Hilbert dont la "dimension" (le cardinal des bases) n'est pas dénombrable n'est pas séparable, une différence qui (m')apparaît très significative.

En particulier, est-ce que la physique fait appel à des espaces de Hilbert à base non dénombrable? (La question derrière cela est si les modèles de la physique parlent d'objets physique pris dans un ensemble de cardinal plus grand que la puissance du continu?)

Le Wiki semble répondre :

All infinite-dimensional separable Hilbert spaces are isomorphic to $\text{[math]}$ . In particular, since all infinite-dimensional separable Hilbert spaces are isomorphic, since almost all Hilbert spaces used in physics are infinite-dimensional and separable, when physicists talk about "the Hilbert space" or just "Hilbert space", they mean any infinite-dimensional separable one.

Mais le mot "almost" ouvre la porte à des exceptions. Lesquelles?

Cordialement,

**Médiat** · 27/04/2009, 09h45

Envoyé par Michel (mmy)

Le cardinal d'une base est une caractéristique d'un espace de Hilbert donné. Si on le note C, alors j'imagine que le cardinal d'un espace de Hilbert est $\text{[math]}$ . Est-ce correct?
Si C est le cardinal dénombrable, alors le cardinal de l'espace est la puissance du continu. Correct?

$\text{[math]}$ , donc c'est correct.

Envoyé par Michel (mmy)

Par contre si C est la puissance du continu, alors le cardinal de l'espace est celui de P(R), $\text{[math]}$ . Correct?

Je suppose que tu voulais écrire $\text{[math]}$ qui est égal à :
$\text{[math]}$ , c'est donc correct.

Envoyé par Michel (mmy)

Mais le mot "almost" ouvre la porte à des exceptions. Lesquelles?

C'est plutôt une question de physique, non ?

invité576543 · 27/04/2009, 10h26

Envoyé par Médiat

Je suppose que tu voulais écrire $\text{[math]}$

Oops... oui.

C'est plutôt une question de physique, non ?

Je sais bien, mais si je poste en physique je n'aurais pas de réponse claire aux questions mathématiques (au passage merci).

J'imagine qu'il faut faire en deux fois, d'abord en maths puis ensuite en physique... Pas pratique ce cloisonnement!

Cordialement,

Cardinalité d'un espace de Hilbert

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