espace de Hilbert

[invite54165721]

Bonjour

A partir d'un espace de Hilbert H de dimension infinie(muni d'un produit scalaire), la donnée sur celui-ci d'une forme bilinéaire permet elle de définir une application linéaire de H dans H? et comment?
Avec un EV de dimension fini ca marche mais ici?

merci pour vos lumières.
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[invite54165721]

En dimension finie par exemple 2 in prend 2 vecteurs orthogonaux u et v
si la forme bilinéaire que l'on introduit ensuite est notée *
on définit naturellement un opérateur sur H de matrice:
u*u u*v
v*u v*v

Sur un espace de Hilbert de dimension infini on aurait l'analogue avec une base de Hilbert et des matrices de taille infinie?

[invite986312212]

salut, ce n'est pas plutôt une application linéaire de H dans H* (le dual) ?

[invite54165721]

Bonjour

Dans un livre de physique mathématique (mécanique quantique)
on part d'une forme sesquilinéaire sur D dense dans H pour définir un opérateur sur H.
C'est cette construction qui m'intéresse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

peut-être à l'aide du théorème de Riesz alors.
Il permet de définir une application linéaire de H* dans H.

[invite986312212]

oui je viens de regarder sur Wiki pour me remémorer tout ça, et ça a l'air de coller: tu pars d'une forme bilinéaire . Pour un vecteur fixé, l'application est linéaire (si la forme est sesquilinéaire il faut faire atention à prendre le facteur de gauche ou de droite, je ne me souviens plus de la convention). Maintenant, le théorème de Riesz dit que si est un élément du dual de il existe un vecteur tel que pour tout où désigne le produit scalaire. L'application en question est . Elle est linéaire d'après Riesz. (je ne me souviens plus pour la question de la continuité, mais au pif ça m'a l'air de marcher)

[invite54165721]

merci

je vais regarder ca de plus près.

[invite54165721]

C'est exactement ce que je cherchais.
Dans Théorème_de_représentation_de_ Riesz
on a le passage "extension aux formes bilinéaires" qui correspond très bien!