Polynomes et applications linéaires

[invitef3dd8bd8]

Bonsoir tout le monde ! Voilà j'ai un exo d'algèbre que j'arrive pas à finir ..Alors

"On considère l'application D:K[X]->K[X] telle que D(P)=P(X+X⁰)-P

1)Montrer que D est un endomorphisme du groupe (K[X],+)
(D est une application linéaire de K[X] vers K[X]..Bon ca c'est Ok)
2)Déterminer kerD et Ker (DoD)
c'est là que j'ai un probleme

Bon kerD={P€K[X] | D(P)=0}
donc P(X+X⁰)-P=0

Après j'ai écrit P et P(X+X⁰) sous la forme de combinaisons linéaires mais je sais pas quoi faire après...
Quelqu'un pourrait-il me donner un tit coup de pouce ? Juste pour avoir une piste de départ pour pouvroir commencer =) Merci !
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[invitea41c27c1]

C'est quoi X^0 ? Un element de k ?

[invitef3dd8bd8]

C'est quoi X^0 ? Un element de k ?

Oui.C'est pareil que 1.

[invite6985b48f]

Ker d c'est les polynomes P tels que P(X+Xo)=P(X)
On suppose X0 différent de 0 bien sur
A vue de nez je dirai que Ker D = polynomes constants

Démo possible : si K=R, en faisant X=X0, on démontre par récurrence facile que P(nX0)=P(X0) donc en faisant n->infini, P(nX0) ne tend pas vers infini donc P polynome constant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3dd8bd8]

en faisant n->infini, P(nX0) ne tend pas vers infini donc P polynome constant

Pourriez-vous m'expliquez ceci Svp? j'ai pas très bien compris...

[invite6985b48f]

ça marche sur R, hein, par sur n'importe quel corps (mais c'est mieux que rien)

si n->infini, nX0 aussi

Si P n'est pas polynome constant, alors limP en l'infini c'est + ou - infini, alors ça veut dire P(nX0) tend vers + ou - infini

donc P(X0)=P(nX0) vaut + ou - infini : absurde

donc P constant

youpi

[invitea41c27c1]

En posant , on a

D(1) =0
D(X) = P_1
...
D(X^n) = P_n
...


Et en remarquant qu'en carteristique zeros les forment une base on peut conclure sur le noyau de D.

Idem pour le noyaux de DoD.

[invite6985b48f]

En généralisant sur un corps K quelconque, à partir de P(X+X0)=P(X0) on démontre que Q(X)=P(X+X0)-P(X0) a une infinité de racines : 0, X0, 2X0, 3X0, etc

Il doit bien y avoir un théorème qui dit que c'est donc le polynome nu, donc P(X+X0)=P(X0)
chngement de variable Y=X+X0
P(Y)=P(X0) quel que soit Y donc P constant !

[invitef3dd8bd8]

En posant , on a

D(1) =0
D(X) = P_1
...
D(X^n) = P_n
...


Et en remarquant qu'en carteristique zeros les forment une base on peut conclure sur le noyau de D.

Idem pour le noyaux de DoD.

Whaou les notions de base et de caractéristique zéro me sont totalement étrangères pour le moment...tant pis je verrais ca plus tard.
Merci !

[invitef3dd8bd8]

Sinon, question à part, y aurait-il une "méthode" pour décomposer un polynome en facteurs irréductibles ? (comme lorsqu'on décompose un nombre en facteurs premiers par exemple)

Exemple décomposer X⁴+4X⁰ en facteurs irréductibles dans R[X]...

[invitef3dd8bd8]

Up ?!

[invitea41c27c1]

Il n'y pas de methodes generales, il faut traiter au cas par cas.

Pour ton polynome il faut remarquer que c'est la difference de deux carres.