Deux petites questions.
1) Si une application linéaire f quelconque est surjective, peut-on dire que la dimension de l' ensemble de départ est inférieure à la dimension de l'ensemble d'arrivée? Il me semble que oui mais je ne vois pas trop comment le montrer rigoureusement même si ça doit être très simple
2) Si f est bijective, est-ce que fp est-elle aussi bijective?
Salut,
pour la 1), utilise le théorème du rang: dim E=dim ker f + dim im f avec f : EF.
Dire que f est surjective est équivalent à dire que im f=F donc...
La 2) est vraie (si l'exposant p désigne la composition).
Cordialement.
Salut,
ok pour la 1)
mais pour la 2) comment tu le démontres? (en effet, le p désigne l'indice de composition)
Pour la 2) un bon candidat pour l'inverse de f^p semble être (f^-1)^p n'est-il-pas ?
est-ce que le -1 joue ici un rôle d'exposant normal ou pas? Peut-on utiliser les règles de calcul habituelles sur les puissances?
Car sinon je ne vois pas comment on peut retomber sur idE et se rapporter ainsi à la définition.
Autres questions:
1) Pourquoi si une application linéaire s'annule sur une base de son ensemble d'arrivée alors elle est nulle?
2) Si une matrice est carrée, s'écrit-elle forcément M(f,B)? je veux dire: la base de l'ensemble d'arrivée et celle de l'ensemble de départ est-elle toujours la même? Cela veut-il dire que f est un endomorphisme?
3) Est-ce que l'ensemble des images par f des vecteurs d'une base de l'ensemble de départ engendre Im f? Si oui, pourquoi?
Une remarque quand même. C'est faux en dimensions infinie. Prenons l'espace des suites, et l'apllication f qui, à une suite u_n associe la suite v_n = u_{n+1}. C'est surjectif, et les dimensions sont les mêmes, même si on est d'accord pour dire qu'on a moralement perdu une dimension. On pourra alors prétexté que l'on peut raisonner sur les codimensions (codim F = dim E/F, si F est un sous espace vectoriel de E). Mais en fait, là encore, il y a des cas bizarres.Envoyé par martini_bird
Salut,
pour la 1), utilise le théorème du rang: dim E=dim ker f + dim im f avec f : E
Dire que f est surjective est équivalent à dire que im f=F donc...
L'application définie toujours sur l'espace des suites qui à u_n associe la suite v_n=u_{2n} est surjective, et ni dimension de l'espace image, ni codimension de l'espace image ne sont finies, et on ne peut donc pas employer le théorème du rang!
Bonjour,
tu veux plutôt dire " si une application linéaire s'annule sur une base de son ensemble de départ alors elle est nulle ".
Ce qu'on peut montrer comme ça.
Soit une application linéaire f de E dans F et
Pour tout
On a alors
Or, comme, par hypothèse,
Sur les matrices maintenant.
1) Est-ce qu'une matrice carrée représente nécessairement un endomorphisme ou simplement une application linéaire dont l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ont la même dimension?
2) Qu'appelle méthode du pivot de Gauss dans la résolution des systèmes d'équations linéaires? Lorsqu'on combine entre elles les différentes équations, utilise t-on déjà cette méthode ou ne consiste t-elle qu'en l'utilisation du matrice complète et d'un travail sur des matrices?
Une matrice carrée représente un morphisme entre deux espaces de même dimension. Cela dit, c'est uniquement le cas parce que tu identifies R^N avec un espace vectoriel E de dimension N. En fait, les matrices envoient naturellement R^N dans R^N, et c'est les identifications que tu fais après qui peuvent te donner une application linéaire entre 2 ev différents.
Quant à la méthode de Gauss, c'est juste une méthode qui combine différentes équations de façons déterministes, et que tu peux rentrer dans un ordinateur.
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rvz
Peut-on parler de MATRICES libres ou parle t-on seulement de VECTEURS libres?
On ne parle pas de vecteurs libres mais de famille de vecteurs libre.
Dans un espace vectoriel de matrices (où les matrices sont des vecteurs donc) tu peux parler de famille de matrices libre.
