dérivé

[inviteb46b855b]

On pose g(t)=f(tX) ou X appartient à R^n et t>0
Calculer g'(t) de 2 manières différentes et conclure.

Voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive pas vraiment à résoudre. Si quelqu'un pouvait m'aider j'en serais très content.

merci.
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[invite00d586ad]

Bonsoir,

J'ai récemment appris le théorème des fonctions homogènes et il me semble approprié pour ce cas.

Suivant ce théorème, pour tout X appartenant à IRⁿ et t>0
f(tX)=t^y*f(X) où y est le degré de la fonction homogène

Avec cette formule tu peux sans doute modifier ton g(X) afin de le rendre plus simple a dériver.

Concernant une seconde méthode je n'ai aucune idée.

[invitefc84ad56]

pour faire plus simple, (le théoreme en cité par Bagoo ne me semble pas être au programme de 1ereS):
g(t)=f(tx) Donc tu prends l'expression de f(x) (que tu dois avoir dans l'énonc&#233, et tu remplaces tous les x par tx. Ensuite, tu dérives simplement la fonction obtenue en fonction de t au lieu de x (ce dont tu as peut-être plus l'habitude). Tu dérives donc comme si le t était x, et le x un simple nombre, une constante.
Par exemple, si f(x)=x^2, g(t)=(xt)^2=(x^2)(t^2). x étant considéré comme un nombre (on appelle ça un parametre), on dérive en fonction de t. ici, g'(t)=(x^2)*2*t, ceci d'apres la formule at^2 -> 2at. Tu fais tout la dérivée comme ça, ça ne devrait pas être compliqué.

[inviteb46b855b]

Je vous remercie tous les deux, si d'autres personnes ont des propositions à faire, n'hésitez pas à m'en faire part.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

J'ai du mal comprendre ta question : Tu veux essayer de dériver une fonction f de R^N dans R, non ?
Si g(t) = f(tX), avec X un vecteur de R^N, alors en fait, tu dérives la fonction f dans la direction X au point 0, f étant une fonction de R^N dans R.
Notamment, f(y+h)=f(y)+f'(y)(h) à l'ordre 1 en h , ce qui signifie (définition de la différentielle) que f'(y) est une application linéaire de R^N dans R, et que [f(y+h)-f(y)-f'(y)(h)]/norme(h) tend vers 0 quand norme(h) tend vers 0. Dans les cas de fonctions dans les evn, f'(y) est donc un élément du dual, et peut s'identifier à un vecteur de R^N, que l'on appelle traditionnellement son gradient.
Ensuite, on développe la théorie comme avec les fonctions dérivables, et dans ton cas, cela donne :
f'(t)=f'(tX)(X).

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rvz

[invitefc84ad56]

(le théoreme en cité par Bagoo ne me semble pas être au programme de 1ereS)

qu'est-ce que j'écris moi?? j'étais fatigué ce soir là, j'ai dû confondre avec un autre fil, avec "1ere s" dans le titre, mais visiblement c'est loin d'être le cas.
Je ne peux évidemment pas expliquer correctement comment dériver une fonction de plusieurs variables, c'est un truc avec les dérivées partielles (notées delta x/delta t au lieu de dx/dt), je l'ai vu en physique mais iren compris.

C'est promis, je n'essayerais plus de venir sur le forum les lendemains d'avoir fait tard un DM de math!