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Bijection Plan --> Droite ?



  1. #1
    lezebulon

    Bijection Plan --> Droite ?


    ------

    Salut
    Voilà on a commencé les simillitudes en spécialite math aujourd'hui et on a vu que les similitudes sont des bijections du plan dans le plan, et que certaines transfo usuelles n'en sont pas - en fait on n'a vu que le projeté orthogonal.
    Du coup on a vu que c'était une surjection et pas une bijection... et ensuite un pote a demandé si il y avait des applications du plan dans une droite qui étaient des bijections... mais je me rappelle plus trop ce qu'a répondu la prof
    Bon j'ai compris les concepts de bijection/injection/surjection sur des ensembles qui étaient 'discret' (c'est ptet pas le bon mot)
    Donc intuitivement je dirais qu'il que dans une droite il y a moins de point que dans un plan, donc qu'il ne peut pas y avoir de bijection plan --> droite, mais comme les 2 ensembles sont continus, on pourait toujours trouver des points de la droite "en plus" qui seraient les images de nouveaux points du plan... bref ma question est simple : existe-t-il des bijection Plan --> Droite ?

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : Bijection Plan --> Droite ?

    Citation Envoyé par lezebulon
    en fait on n'a vu que le projeté orthogonal.
    Du coup on a vu que c'était une surjection et pas une bijection...
    Ca dépend. Si tu considères une projection orthogonale sur une droite, c'est bien une surjection du plan sur la droite. Si tu considères la même projection comme une application du plan dans le plan, ce n'est plus une surjection. Il faut bien préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.

    Sinon ta question est équivalente à : existe-t'il une bijection de R dans RxR ?
    Une telle bijection existe. Une des méthodes pour en construire une est de remarquer qu'il existe des bijections entre R et ]0;1[, puis de chercher une bijection entre ]0;1[ et ]0;1[x]0;1[
    Par exemple on prend x et y dans ]0;1[, et on construit z dans ]0;1[ en prenant une décimale de x puis une décimale de y et ainsi de suite.
    En fait il faut faire quelques modifs pour que cette construction marche, mais l'idée est là.
    Par exemple pour x = 0,33333.... et y = 0,44444.... tu obtiendrais z = 0,343434......

  3. #3
    martini_bird

    Re : Bijection Plan --> Droite ?

    Salut,

    et il n'existe bien évidemment pas de bijections continues (homéomorphisme) entre le plan et une droite (réelle!).

    Cordialement.

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