matrices et applications linéaires

[invite613a4e44]

Encore pleins de questions!
1) Est-ce qu'une même matrice est associée à une et une seule application linéaire?
2) Quand on a une matrice carrée, est-ce que l'application linéaire qui va avec est un endomorphisme?
3) Si deux espaces vectoriels de dimension finie sont engendrés par une même famille génératrice finie, peut-on en conclure qu'ils sont égaux?
4) Est-ce que seule une matrice inversible peut être inversible?
5) Que représente le déterminant d'une matrice?
Merci pour toute réponse!
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[invite613a4e44]

Personne ne sait ce que c'est qu'une matrice ici ou quoi??

[invitedf667161]

lolo, tu poses trop de questions Chokao

1) Si tu fixes une base de l'ev en question oui, sinon non.
2) Oui
3) Oui
4) Est-ce-qu'une table qui a qutre pieds a qutre pieds ?
5) Le déterminant est un scalaire qui permet de mesurer plein de choses sur la matrice ; notamment l'application linéaire qui se cache derrière (via une base voir 1) ) est inversible ou non.

[invite70eda27f]

Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?

Une fois qu'on a fixé des bases de chacun de ces deux espaces oui.

Sinon une matrice c'est juste un tableau d'éléments d'un corps (plutôt d'un anneau)

[invite2c72d354]

lolo, tu poses trop de questions Chokao

1) Si tu fixes une base de l'ev en question oui, sinon non.
2) Oui
3) Oui
4) Est-ce-qu'une table qui a qutre pieds a qutre pieds ?
5) Le déterminant est un scalaire qui permet de mesurer plein de choses sur la matrice ; notamment l'application linéaire qui se cache derrière (via une base voir 1) ) est inversible ou non.

salut

2) pas forcement ! tout ce qu'on peut dire c'est que l'espace vect d'arrivée à la même dimension que celui du depart .
enfin je pense !

[invitedf667161]

salut

2) pas forcement ! tout ce qu'on peut dire c'est que l'espace vect d'arrivée à la même dimension que celui du depart .
enfin je pense !

Je pense que tu ne penses pas trés droit

J'ai en effet zappé le fait que l'application derrière peut aller d'un ev vers un autre.
Mais je t'assure que si une application est cachée derrière une matrice (ou inversement), l'application est linéaire.

Je crois que c'est pas une super idée de regarder les matrices, puis les application dans cet ordre.
On parle d'abord d'application linéaire entre deux ev, on fixe des bases, et ensuite on déifnit la matrice de l'application dans ces bases.

[invite613a4e44]

Pour la question 4) je voulais dire: est-ce que seule une matrice carrée peut être inversible? (désolée)

[erik]

Par définition une matrice A est inversible, si il existe une matrice B tel que AB=I
Avec I la matrice identité.
I est une matrice carré.
Pour que le produit AB soit une matrice carré, il faut que A et B soient des matrices carrés.

[invite2c72d354]

Pour la question 4) je voulais dire: est-ce que seule une matrice carrée peut être inversible? (désolée)

affirmatif, et c'est par définition
d'autre part on peut de plus dire : une matrice qui n'est pas carrée represente une app lineaire entre 2 espaces vectoriels de dimensions differentes soient p et k; or entre 2 espaces de dimensions differentes on ne peut trouver aucun isomorphisme et qui dit isomorphisme dit matrice inversible de M(p,k) p><k

[invite2c72d354]

Par définition une matrice A est inversible, si il existe
Pour que le produit AB soit une matrice carré, il faut que A et B soient des matrices carrés.

pas forcement :
AB carrée SSI le nombre des lignes de A egale a ce lui des colonnes de B

[erik]

pas forcement :
AB carrée SSI le nombre des lignes de A egale a ce lui des colonnes de B

Il ne faut pas que je poste tard le soir, je raconte n'importe quoi !!!
Merci d'avoir rectifié

[moijdikssékool]

on pourrait aussi dire inversible à droite (AB = I) et inversible à gauche (BA = I). En effet l'inversible doit être lui aussi inversible (et redonner la fonction de départ si possible)

[invite613a4e44]

Que signifie le fait qu'un anneau soit isomorphe à un autre anneau?

[moijdikssékool]

qu'il existe un isomorphisme (morphisme bijectif) entre les 2, ie que chaque élément de l'un a un antécédent unique dans l'autre par cette fonction

[invite2f68e9c6]

Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?

Ca y est, ça ne loupe jamais, la bêtise a encore frappé...

Quand tu parles de morphisme, encore faut-il définir s'il s'agit d'un morphisme de groupe, d'anneau, d'algèbre ...(et les loies qui leurs sont associées !)

Non d'un petit bohnomme !

[invite613a4e44]

(quand il y en a plus, il y en a encore)
1) Si E est un K-espace vectoriel, l'ensemble des endomorphismes de E est-il aussi un K-ev?
2) Un coefficient de proportionnalité peut-il être nul?
3) Si F c E ( E, F deux espaces vectoriels), une famille libre dans E est-elle libre dans F? (en tout cas si une famille est libre dans F elle est libre dans E)
Ravioli, en parlant de bêtise, tu n'as pas vu tes monstrueuses fautes d'orthographe, alors un peu de tolérance!

[invitee65b1c3d]

(quand il y en a plus, il y en a encore)
1) Si E est un K-espace vectoriel, l'ensemble des endomorphismes de E est-il aussi un K-ev?

Bien sûr.

3) Si F c E ( E, F deux espaces vectoriels), une famille libre dans E est-elle libre dans F? (en tout cas si une famille est libre dans F elle est libre dans E)

Oui, c'est la même démonstration dans les deux sens : on utilise la définition d'une famille libre.