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matrices et applications linéaires



  1. #1
    Chokaolic

    matrices et applications linéaires


    ------

    Encore pleins de questions!
    1) Est-ce qu'une même matrice est associée à une et une seule application linéaire?
    2) Quand on a une matrice carrée, est-ce que l'application linéaire qui va avec est un endomorphisme?
    3) Si deux espaces vectoriels de dimension finie sont engendrés par une même famille génératrice finie, peut-on en conclure qu'ils sont égaux?
    4) Est-ce que seule une matrice inversible peut être inversible?
    5) Que représente le déterminant d'une matrice?
    Merci pour toute réponse!

    -----

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  3. #2
    Chokaolic

    Re : matrices et applications linéaires

    Personne ne sait ce que c'est qu'une matrice ici ou quoi??

  4. #3
    GuYem

    Re : matrices et applications linéaires

    lolo, tu poses trop de questions Chokao

    1) Si tu fixes une base de l'ev en question oui, sinon non.
    2) Oui
    3) Oui
    4) Est-ce-qu'une table qui a qutre pieds a qutre pieds ?
    5) Le déterminant est un scalaire qui permet de mesurer plein de choses sur la matrice ; notamment l'application linéaire qui se cache derrière (via une base voir 1) ) est inversible ou non.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    dimofzion

    Re : matrices et applications linéaires

    Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    GuYem

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par dimofzion
    Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?
    Une fois qu'on a fixé des bases de chacun de ces deux espaces oui.

    Sinon une matrice c'est juste un tableau d'éléments d'un corps (plutôt d'un anneau)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  8. #6
    jakobi

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par GuYem
    lolo, tu poses trop de questions Chokao

    1) Si tu fixes une base de l'ev en question oui, sinon non.
    2) Oui
    3) Oui
    4) Est-ce-qu'une table qui a qutre pieds a qutre pieds ?
    5) Le déterminant est un scalaire qui permet de mesurer plein de choses sur la matrice ; notamment l'application linéaire qui se cache derrière (via une base voir 1) ) est inversible ou non.
    salut

    2) pas forcement ! tout ce qu'on peut dire c'est que l'espace vect d'arrivée à la même dimension que celui du depart .
    enfin je pense !

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  10. #7
    GuYem

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par jakobi
    salut

    2) pas forcement ! tout ce qu'on peut dire c'est que l'espace vect d'arrivée à la même dimension que celui du depart .
    enfin je pense !
    Je pense que tu ne penses pas trés droit

    J'ai en effet zappé le fait que l'application derrière peut aller d'un ev vers un autre.
    Mais je t'assure que si une application est cachée derrière une matrice (ou inversement), l'application est linéaire.

    Je crois que c'est pas une super idée de regarder les matrices, puis les application dans cet ordre.
    On parle d'abord d'application linéaire entre deux ev, on fixe des bases, et ensuite on déifnit la matrice de l'application dans ces bases.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Chokaolic

    Re : matrices et applications linéaires

    Pour la question 4) je voulais dire: est-ce que seule une matrice carrée peut être inversible? (désolée)

  12. #9
    erik

    Re : matrices et applications linéaires

    Par définition une matrice A est inversible, si il existe une matrice B tel que AB=I
    Avec I la matrice identité.
    I est une matrice carré.
    Pour que le produit AB soit une matrice carré, il faut que A et B soient des matrices carrés.

  13. #10
    jakobi

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Pour la question 4) je voulais dire: est-ce que seule une matrice carrée peut être inversible? (désolée)
    affirmatif, et c'est par définition
    d'autre part on peut de plus dire : une matrice qui n'est pas carrée represente une app lineaire entre 2 espaces vectoriels de dimensions differentes soient p et k; or entre 2 espaces de dimensions differentes on ne peut trouver aucun isomorphisme et qui dit isomorphisme dit matrice inversible de M(p,k) p><k

  14. #11
    jakobi

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par erik
    Par définition une matrice A est inversible, si il existe
    Pour que le produit AB soit une matrice carré, il faut que A et B soient des matrices carrés.
    pas forcement :
    AB carrée SSI le nombre des lignes de A egale a ce lui des colonnes de B

  15. #12
    erik

    Re : matrices et applications linéaires

    pas forcement :
    AB carrée SSI le nombre des lignes de A egale a ce lui des colonnes de B
    Il ne faut pas que je poste tard le soir, je raconte n'importe quoi !!!
    Merci d'avoir rectifié

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  17. #13
    moijdikssékool

    Re : matrices et applications linéaires

    on pourrait aussi dire inversible à droite (AB = I) et inversible à gauche (BA = I). En effet l'inversible doit être lui aussi inversible (et redonner la fonction de départ si possible)

  18. #14
    Chokaolic

    Re : matrices et applications linéaires

    Que signifie le fait qu'un anneau soit isomorphe à un autre anneau?

  19. #15
    moijdikssékool

    Re : matrices et applications linéaires

    qu'il existe un isomorphisme (morphisme bijectif) entre les 2, ie que chaque élément de l'un a un antécédent unique dans l'autre par cette fonction

  20. #16
    Ravioli

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par dimofzion
    Je pensais qu'une matrice carrée était simplement la matrice d'un morphisme entre deux espaces de même dimension, nan ?
    Ca y est, ça ne loupe jamais, la bêtise a encore frappé...

    Quand tu parles de morphisme, encore faut-il définir s'il s'agit d'un morphisme de groupe, d'anneau, d'algèbre ...(et les loies qui leurs sont associées !)

    Non d'un petit bohnomme !

  21. #17
    Chokaolic

    Re : matrices et applications linéaires

    (quand il y en a plus, il y en a encore)
    1) Si E est un K-espace vectoriel, l'ensemble des endomorphismes de E est-il aussi un K-ev?
    2) Un coefficient de proportionnalité peut-il être nul?
    3) Si F c E ( E, F deux espaces vectoriels), une famille libre dans E est-elle libre dans F? (en tout cas si une famille est libre dans F elle est libre dans E)
    Ravioli, en parlant de bêtise, tu n'as pas vu tes monstrueuses fautes d'orthographe, alors un peu de tolérance!

  22. #18
    C.B.

    Re : matrices et applications linéaires

    Citation Envoyé par Chokaolic
    (quand il y en a plus, il y en a encore)
    1) Si E est un K-espace vectoriel, l'ensemble des endomorphismes de E est-il aussi un K-ev?
    Bien sûr.

    Citation Envoyé par Chokaolic
    3) Si F c E ( E, F deux espaces vectoriels), une famille libre dans E est-elle libre dans F? (en tout cas si une famille est libre dans F elle est libre dans E)
    Oui, c'est la même démonstration dans les deux sens : on utilise la définition d'une famille libre.

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