bonsoir tt le monde;
aujourd'hui matin en classe, on a fait un devoir en maths; il y avait une question à laquelle personne n'a pu repondre; et le prof n'a pas cessé de nous dire et de nous répéter que c'est la plus simple. je vous la propose:
M matrice carrée d'ordre n;
montrer que si rg(M)=n-1 alors rg(com(M))=1
touts vos remarques et indications seront les bienvennues;
merci d'avence
Bonsoir.
Si rg(M) = n-1 il y au moins une sous matrice de M d'ordre n-1 qui soit inversible.
(Ce serait pas rg(com(M)) >= 1 la conclusion des fois ?)
tout a fait, on a fait ce theoreme; mais j vois pas comment ca va nous aider ?Envoyé par GuYem
Eh bien quels sont les coefficients de com(M) ?
Tu peux répondre à la question entre parenthèses stp ?
la comatrice de M c'est la matrice des cofacteurs de M
Oui c'est ça! C'est quoi un cofacteur? Quelle est le lien avec les sous matrices de rang n-1 ?
Tu veux vraiment pas répondre à la question entre parenthèses dis moi...
c'est l'egalité qui est demandée de démentrer rg(com(M))=1
et le cofacteur d'indice (i,j) est le determinant de la matrice extrete en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne
Si j'ai bonne mémoire ça c'est le mineur. Le cofacteur étant égal au mineur multiplié par (-1)^(i+j)
M de rang n-1 =>il existe une matrice extrete inversible son determinant non nul
=>au moins un coffacteur non nul et le rang de la commatrice estsup ou egale 1 rang(com(M))>=1
et apres ?
oui tout a fait !
Bonsoir,
l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?
le rang d'une matrice et celui de sa transposé sont égaux
com(A) c'est la matrice complémentaire de A, donc bien la transposée de la matrice des cofacteurs. Ceci-dit une matrice ayant même rang que sa transposée ...
[EDIT: arf, ça peut être aussi comatrice, donc juste matrice des cofacteurs j'imagine]
Ma question doit vous mettre sur la voie. Est ce qu'il n'y a pas une relation qui lie la matrice et la transposée de la matrice des cofacteurs ?
voila
transposée(com(M))*M = det(M)*In
rang(M) =n-1 => det(M) = 0
t(com(M))*M = 0 ( pas grand chose je crois ?)
OK.
Et si on appelle M' = t(com(M)) pour simplifier l'écriture, on a M'*M = 0.
Qu'est ce que cela signifie ?
On peut y arriver comme ça, mais je crois que c'est plus direct si on prend [EDIT : non, finalement on peut conclure de la même maniere ]:
M*transposée(com(M)) = det(M)*In
et on obtient donc M * t(com(M)) = 0.
Toujours même question, qu'est ce que ça signifie ?
Bah ça revient au même.
Pour Jakobi, essaie de réfléchir en terme d'image et de noyau d'endomorphisme.
Tout à fait, j'avais d'ailleurs corrigé dans mon post précédent.
comatrice?com(A) c'est la matrice complémentaire de A
Oui, oui, il s'agit bien de la comatrice ou matrice des cofacteurs.
La matrice complémentaire étant la transposée de la comatrice. J'avais déjà corrigé.
merci pour l'indication mathias
voila c que g trouvé:
soit u l'endomorphisme de IRn canoniquement associé à M,
et uc l'endomorphisme de IRn canoniquement associé à la com(M);
rg(M)=n-1 donc rg(u)=n-1
d'apres theoreme du rang dim(ker(u))=1, le ker(u) est donc une droite vectoriel de base soit (e1 );
d'apres le theoreme de la base incomplete on peut construire une base adaptée à ker(u) soit B=(ei )1<i<n. M' la matrice de u dans cette base sa 1ère colonne est nulle;
en passant a la comatrice de M', il est facile de voir que seule la 1 ère colonne de la nouvelle comatrice qui n'est pas nulle; donc son rang ça sera egale à 1 de même pour uc rang(ut)=1 donc rang de com(M)=1.
Pas besoin de revenir sur les colonnes de matrices.
Prenons deux matrices A et B telles que AB = 0, avec a et b les endomorphismes associés.
Tu as donc pour tout x, ab(x) = 0, c'est à dire a(b(x)) = 0
Qu'est-ce que cela entraine pour Im(b) et Ker(a) ?
on peut dire que ker(a) contient Im(b)
donc dim(Im(b))<= dim(Ker(a))=1
et dans notre cas c'est different de 0 car la comatrice poossède au moins un coffacteur non nul car rg(M)=n-1
d'où dim(Im(b))=rg(com(M))=1
merci bcp pour l'aide
seulement j me demande la démonstration que j'ai fait où g utilisé les colonnes c'est juste ?
Oui ça a l'air bon, en précisant quand-même qu'il ne peut pas être de rang nul (seul la première colonne est éventuellement non nulle).
merci encore pour l'aide !
de rien, ce fut un plaisir.
