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encore sur les matriX



  1. #1
    jakobi

    encore sur les matriX


    ------

    bonsoir tt le monde;

    aujourd'hui matin en classe, on a fait un devoir en maths; il y avait une question à laquelle personne n'a pu repondre; et le prof n'a pas cessé de nous dire et de nous répéter que c'est la plus simple. je vous la propose:

    M matrice carrée d'ordre n;
    montrer que si rg(M)=n-1 alors rg(com(M))=1

    touts vos remarques et indications seront les bienvennues;
    merci d'avence

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : encore sur les matriX

    Bonsoir.

    Si rg(M) = n-1 il y au moins une sous matrice de M d'ordre n-1 qui soit inversible.

    (Ce serait pas rg(com(M)) >= 1 la conclusion des fois ?)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par GuYem
    Bonsoir.

    Si rg(M) = n-1 il y au moins une sous matrice de M d'ordre n-1 qui soit inversible.

    (Ce serait pas rg(com(M)) >= 1 la conclusion des fois ?)
    tout a fait, on a fait ce theoreme; mais j vois pas comment ca va nous aider ?

  4. #4
    GuYem

    Re : encore sur les matriX

    Eh bien quels sont les coefficients de com(M) ?

    Tu peux répondre à la question entre parenthèses stp ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    la comatrice de M c'est la matrice des cofacteurs de M

  7. #6
    GuYem

    Re : encore sur les matriX

    Oui c'est ça! C'est quoi un cofacteur? Quelle est le lien avec les sous matrices de rang n-1 ?

    Tu veux vraiment pas répondre à la question entre parenthèses dis moi...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  8. #7
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    c'est l'egalité qui est demandée de démentrer rg(com(M))=1

  9. #8
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    et le cofacteur d'indice (i,j) est le determinant de la matrice extrete en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne

  10. #9
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par jakobi
    et le cofacteur d'indice (i,j) est le determinant de la matrice extrete en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne
    Si j'ai bonne mémoire ça c'est le mineur. Le cofacteur étant égal au mineur multiplié par (-1)^(i+j)

  11. #10
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    M de rang n-1 =>il existe une matrice extrete inversible son determinant non nul
    =>au moins un coffacteur non nul et le rang de la commatrice estsup ou egale 1 rang(com(M))>=1
    et apres ?

  12. #11
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par matthias
    Si j'ai bonne mémoire ça c'est le mineur. Le cofacteur étant égal au mineur multiplié par (-1)^(i+j)
    oui tout a fait !

  13. #12
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par jakobi
    c'est l'egalité qui est demandée de démentrer rg(com(M))=1
    Bonsoir,

    l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?

  14. #13
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonsoir,

    l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?
    le rang d'une matrice et celui de sa transposé sont égaux

  15. #14
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonsoir,

    l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?
    com(A) c'est la matrice complémentaire de A, donc bien la transposée de la matrice des cofacteurs. Ceci-dit une matrice ayant même rang que sa transposée ...

    [EDIT: arf, ça peut être aussi comatrice, donc juste matrice des cofacteurs j'imagine]

  16. #15
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonsoir,

    l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?
    Ma question doit vous mettre sur la voie. Est ce qu'il n'y a pas une relation qui lie la matrice et la transposée de la matrice des cofacteurs ?

  17. #16
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par nissart7831
    Ma question doit vous mettre sur la voie. Est ce qu'il n'y a pas une relation qui lie la matrice et la transposée de la matrice des cofacteurs ?
    voila
    transposée(com(M))*M = det(M)*In

    rang(M) =n-1 => det(M) = 0

    t(com(M))*M = 0 ( pas grand chose je crois ?)

  18. #17
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par jakobi
    voila
    transposée(com(M))*M = det(M)*In

    rang(M) =n-1 => det(M) = 0

    t(com(M))*M = 0 ( pas grand chose je crois ?)
    OK.

    Et si on appelle M' = t(com(M)) pour simplifier l'écriture, on a M'*M = 0.

    Qu'est ce que cela signifie ?

  19. #18
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par jakobi
    transposée(com(M))*M = det(M)*In
    On peut y arriver comme ça, mais je crois que c'est plus direct si on prend [EDIT : non, finalement on peut conclure de la même maniere ]:

    M*transposée(com(M)) = det(M)*In

    et on obtient donc M * t(com(M)) = 0.

    Toujours même question, qu'est ce que ça signifie ?
    Dernière modification par nissart7831 ; 26/11/2005 à 00h02.

  20. #19
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par nissart7831
    On peut y arriver comme ça, mais je crois que c'est plus direct si on prend :

    M*transposée(com(M)) = det(M)*In

    et on obtient donc M * t(com(M)) = 0.
    Bah ça revient au même.

    Pour Jakobi, essaie de réfléchir en terme d'image et de noyau d'endomorphisme.

  21. #20
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par matthias
    Bah ça revient au même.
    Tout à fait, j'avais d'ailleurs corrigé dans mon post précédent.

  22. #21
    moijdikssékool

    Re : encore sur les matriX

    com(A) c'est la matrice complémentaire de A
    comatrice?

  23. #22
    nissart7831

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    comatrice?
    Oui, oui, il s'agit bien de la comatrice ou matrice des cofacteurs.

  24. #23
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    La matrice complémentaire étant la transposée de la comatrice. J'avais déjà corrigé.

  25. #24
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par matthias
    Bah ça revient au même.

    Pour Jakobi, essaie de réfléchir en terme d'image et de noyau d'endomorphisme.
    merci pour l'indication mathias
    voila c que g trouvé:
    soit u l'endomorphisme de IRn canoniquement associé à M,
    et uc l'endomorphisme de IRn canoniquement associé à la com(M);
    rg(M)=n-1 donc rg(u)=n-1
    d'apres theoreme du rang dim(ker(u))=1, le ker(u) est donc une droite vectoriel de base soit (e1 );
    d'apres le theoreme de la base incomplete on peut construire une base adaptée à ker(u) soit B=(ei )1<i<n. M' la matrice de u dans cette base sa 1ère colonne est nulle;
    en passant a la comatrice de M', il est facile de voir que seule la 1 ère colonne de la nouvelle comatrice qui n'est pas nulle; donc son rang ça sera egale à 1 de même pour uc rang(ut)=1 donc rang de com(M)=1.

  26. #25
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    Pas besoin de revenir sur les colonnes de matrices.
    Prenons deux matrices A et B telles que AB = 0, avec a et b les endomorphismes associés.
    Tu as donc pour tout x, ab(x) = 0, c'est à dire a(b(x)) = 0
    Qu'est-ce que cela entraine pour Im(b) et Ker(a) ?

  27. #26
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    Citation Envoyé par matthias
    Pas besoin de revenir sur les colonnes de matrices.
    Prenons deux matrices A et B telles que AB = 0, avec a et b les endomorphismes associés.
    Tu as donc pour tout x, ab(x) = 0, c'est à dire a(b(x)) = 0
    Qu'est-ce que cela entraine pour Im(b) et Ker(a) ?
    on peut dire que ker(a) contient Im(b)
    donc dim(Im(b))<= dim(Ker(a))=1
    et dans notre cas c'est different de 0 car la comatrice poossède au moins un coffacteur non nul car rg(M)=n-1
    d'où dim(Im(b))=rg(com(M))=1
    merci bcp pour l'aide

  28. #27
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    seulement j me demande la démonstration que j'ai fait où g utilisé les colonnes c'est juste ?

  29. #28
    matthias

    Re : encore sur les matriX

    Oui ça a l'air bon, en précisant quand-même qu'il ne peut pas être de rang nul (seul la première colonne est éventuellement non nulle).

  30. #29
    jakobi

    Re : encore sur les matriX

    merci encore pour l'aide !

  31. #30
    Ravioli

    Re : encore sur les matriX

    de rien, ce fut un plaisir.

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