bonsoir
voila; j vais vous proposer un exercice que g essayé une semaine pour le resoudre mais en vain; g besoin de votre aide !
exercice: l'appliction définie sur l'espace vectoriel des matrices carées d'ordre n qui à chaque matrice lui associe son carré est elle surjective ?
toutes vos remarques sont les bienvenues !
thnx
Salut,
Pour n=1, la matrice (-1) ne peut pas s'écrire comme le carré d'une matrice...
[QUOTE=jakobi]bonsoir
voila; j vais vous proposer un exercice que g essayé une semaine pour le resoudre mais en vain; g besoin de votre aide !
exercice: l'appliction définie sur l'espace vectoriel complexe des matrices carées d'ordre n qui à chaque matrice lui associe son carré est elle surjective ?
toutes vos remarques sont les bienvenues !
thnx
Vraiment ? et (i)^2 ??
Est on dans l'espace vectoriels des matrices carrées d'ordre n COMPLEXES ou non ???
Tu as raison, Ravioli, j'ai réfléchi trop tard... Sur C, j'avoue que je ne vois pas.
une precision : l'application est definie sur l'espace vectoriel des matrices complexes;
allez-y à vous maintenant !
La réponse à ta question, jakobi, devient triviale en passant par la diagonalisation.
Soit M une matrice de Mn(C).
alors M est diagonalisable dans une BON de vecteurs propres de M.
=> il existe P, M=P^-1*D*P, avec D la matrice diagonale précitée.
comme D est diagonale, on prend les racines deuxièmes de chaque coefficient diagonal complexe et on obtient B.
on a donc D=B*B , => M=P^-1*B*B*P
on revient dans l'ancienne base ( celle ou l'on a écrit M initialement : ie une base quelconque ) .
ainsi B=P*B'*P^(-1) , avec B' matrice de B dans l'ancienne base.
=> M = P^-1*P*B'*P^(-1)*P*B'*P^(-1)*P
et comme : P^(-1)*P=In
P^(-1)*P=In
=> M=B'*B'= B'² (joli non ?)
Ainsi on a trouvé une matrice dont le carré donne M CQFD
En espérant pour toi que tu ai vu la diagonalisation ...
J'avais commencé à chercher de ce côté là, mais vu que je raisonnais dans R, je suis pas allé très loin...
mince ravioli; la proposition de depart est fausse {Soit M une matrice de Mn(C).
alors M est diagonalisable} fausse.
les matrices carrées d'ordre n ne sont pas toutes diagonalisables %
tu te trompes mon petit jakobi : les matrices carrées sont toutes diagonalisables dans C ( dans R non ) .
Pourquoi ? me diras tu ...
Pour la simple et bonne raison que tous les polynômes sont scindés dans C (mais pas dans R ).
Donc le polynome caractéristique de M est scindé dans C et donc M est digonalisable .
C'est FAUX !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Envoyé par Ravioli
polynôme caractéristique scindé <=> trigonalisable
Ca ne marche pas avec diagonalisable.
Pour t'en convaincre, prends une matrice triangulaire supérieure non diagonale avec uniquement des 1 sur la diagonale. Si elle était diagonalisable elle serait semblable à I, or toutes les matrices semblables à I sont égales à I.
Pour revenir à la question de départ, je n'ai aucune idée de la réponse!
Quelqu'un en a une?
A vue de nez je dirais que l'application est surjective et que la cloture de C va aider...
on pourrait d'abord montrer que toute matrice triangulaire peut être le produit de 2 matrices triangulaires. Après il s'agit de résoudre un système de cramer très simple qui trouve une soluce dans R (enfin, à première vue)
dans C pardon
sinon tu peux surement prendre la défintion de la surjectivité de ton application dans un ev des matrice d'ordre n dans C, ceci dit il faudrait vérifier qu'elle est linéaire
Tauvel 2.14.39.b) dit que l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C). Avec ça on s'en sort presque aisément en remarquant qu'une matrice diagonalisable est bien un carré et en utilisant de la continuité.
X->X^2 est tout sauf linéaire il me semble.
Si la propriété est vraie, elle doit se montrer "à la main" en dimension 2, en résolvant les 4 équations - qui ne sont pas linéaires, donc pas de Cramer.
Ensuite on doit pouvoir y arriver par récurrence en utilisant le fait que toute matrice est diagonalisable par blocs.
Ceci dit je ne suis pas tout à fait conviancu que c'est vrai.
Oui c'est un classique.
avec ça tu montres facilement que pour toute matrice M, il existe une suite An telle que An² tend vers M, mais il faudrait aussi que An admette une valeur d'adhérence pour conclure.
Je ne pense pas qu'une récurrence sur la dimension soit une grande idée.
C'est un peu baroque mais ça devrait marcher :
Je suppose que la propriété est initialisée à 2, ce que nous n'avons pas encore montré.
Ensuite je suppose que c'est vrai pour toute dimension inférieure à n. Comme toute matrice est diagonalisable par blocs, chaque bloc est lui même le carré d'une matrice. On prend alors la matrice des blocs "racines carrées", que l'on multiplie par elle même, et cela devrait marcher, non ?
Toute matrice diagonalisable est un carré car C est clos.
Prendez une suite M_n de matrice diagonalisables qui tend vers M dans M_n(C). Ecrivez-y M_n = A_n^2. La "construction" de A_n à partir de M_n se fait de manière continue : résolution de polynôme du second degré, changement de base et compagnie.
Donc A_n converge vers un élément A de Mn(C). Regardez-y A^2 pour voir.
Sinon il semble qu'on peut aussi faire avec la déomposition polaire en unitaire et symétrique définie positive. Mais là encore il y a des petits problèmes de commutation qui se résolvent à coup de continuité tordue comme ici.
Je ne comprends pas vraiment ce qu'on entend par "diagonalisable par blocs".
Si on veut dire diagonalisable par blocs de taille <= n-1, ça parait louche car alors toutes les matrices 2*2 sont diagonalisables
Si on veut dire diagonalisable par bloc qui peuvent avoir la dimension n, je ne vois pas l'intéret du résultat
Je serais vous, je chercherais plutôt un contre-exemple...
Je viens de m'en rendre compte.
Le coup de la diagonalisation par bloc pose le problème des matrices n'ayant qu'une seule valeur propre.
Et si on regarde la matrice 2x2 dont tous les coeffs sauf un sont égaux à 1, ça marche pas ...
J'avais appris ça durant mes études de taupe. Les blocs sont de taille >=2, bien entendu.
Mmoui ça me paraissait louche depuis le début.
Je ne crois pas qu'on trouvera de contre exemple puisque l'application est surjective
J'étais très fatigué quand j'ai écris ça ...
Matthias ma démonstration avec les matrices diagonalisables te convient-elle ?
