corps commutatif

[invite613a4e44]

Je voulais savoir, si, à l'instar d'un espace vectoriel, un corps commutatif peut être un ensemble de fonctions ou si c'est nécessairement un ensemble de scalaires (mais on ne parle de scalaires que pour un corps commutatif dans le cadre d'un espace vectoriel, non?)
Sinon, dit-on que l'espace vectoriel formé du seul zéro n'a pas de base ou bien que sa base est l'ensemble vide? (bon ça revient au même...)
Est-ce que l'ensemble des fonctions de R dans R est un espace vectoriel de dimension INFINIE? Pour le montrer, si on trouve qu'un sous-espace vectoriel des fonctions de R dans R est de dimension infinie, est-ce que cela suffit?
Sinon, pour trouver l'image d'une application linéaire quand on travaille sur des triplets, comment peut-on faire? Par exemple si on a l'application qui associe à (x,y,z) le triplet (-x, y-z, z)? Ce genre d'application, est-ce que l'on appelle une fonction de plusieurs variables?
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu'une application linéaire est bijective?
Merci bcp pour toute réponse!
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[GuYem]

Bon sang Chokao il est trop compact ton message! Comment veux-tu qu'on réponde à tout sans s'embéter..

Bon je vais essayer, dans l'ordre, à toi de te débrouiller pour savoir à quelle question je réponds !

-Un corps commutatif peut être un ensemble de fonctions si ça te chante. On ne parle en effet de scalaire que quand K est le corps de base d'un espace vectoriel.

-Pour la base de {0} c'est pas important, il a pas de base et c'est tout.

-L'ensemble des fonctions de R dans R est un ev de dimension infinie, si tu as trouvé un sev de dimension infinie, ça suffit.

-Trouver l'image c'est toujours un peu embétant ; le mieux est de la deviner et de montrer ensuite que c'est effectivement ça. Ton application est bien une fonction de plusieurs variables.

-Si tu as une application linéraire entre deux ev de même dimension, tu regardes sn noyau. Si il est réduit à {0} alors l'application est injetive donc bijective. Dans un cadre plus général si tu as la matrice sous la main tu caclcules son déterminant. SI tu n'as rien de tout ça, tu fais injection/surjection.

De rien.

[matthias]

Je ne réponds pas à Guyem, mais voici juste quelques compléments à ses réponses.

-L'ensemble des fonctions de R dans R est un ev de dimension infinie, si tu as trouvé un sev de dimension infinie, ça suffit.

Oui ou un sous-espace de dimension finie n avec n aussi grand qu'on veut.

Ton application est bien une fonction de plusieurs variables.

On peut aussi dire que c'est une fonction d'une seule variable où la variable est le triplet, mais c'est la même chose.

Si tu as une application linéraire entre deux ev de même dimension, tu regardes sn noyau. Si il est réduit à {0} alors l'application est injetive donc bijective.

En dimension finie. Ca se démontre très bien avec le théorème du rang.

[C.B.]

Je voulais savoir, si, à l'instar d'un espace vectoriel, un corps commutatif peut être un ensemble de fonctions ou si c'est nécessairement un ensemble de scalaires (mais on ne parle de scalaires que pour un corps commutatif dans le cadre d'un espace vectoriel, non?)

Le corps peut être un espace de fonction : par exemple, l'ensemble des fonctions méromorphes sur C est un corps (pour la somme et le produit des fonctions complexes).

Toutefois, quand on dit "scalaire" on parle d'un élément du corps.
Ainsi, le mot "scalaire" peut très bien désigner une fonction méromorphe si le corps des scalaire est l'ensemble des fonctions méromorphes.

Pour lé définition de méromorphe : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...eromorphe.html
ou
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe

Sinon, dit-on que l'espace vectoriel formé du seul zéro n'a pas de base ou bien que sa base est l'ensemble vide? (bon ça revient au même...)

ça ne revient pas au même.
Toutefois, comme on ne travaille presque jamais sur cet ensemble, ce n'est pas très important.

Souvent, on considère que l'ensemble vide est sa base, puisque quand on fait une somme sur l'ensemble vide on obtient 0.

Est-ce que l'ensemble des fonctions de R dans R est un espace vectoriel de dimension INFINIE?

Oui

Pour le montrer, si on trouve qu'un sous-espace vectoriel des fonctions de R dans R est de dimension infinie, est-ce que cela suffit?

Oui :
Si F est un sous espace de dimension infinie de E, alors E ne peut pas être de dimension finie : on prend B une base de F, on la complète en une base de E (théorème de la base incomplète) et on obtient une base infinie de E (qui n'est donc pas de dimension finie)

Quelles sont les différentes méthodes pour montrer qu'une application linéaire est bijective?

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est égal à {0}.
C'est critère simple pour l'injectivité.

En dimension finie (attention ! c'est faux en dim infinie) il y a équivalence, pour une fonction f linéaire entre les propositions suivantes :

i) f est bijective
ii) f est injective
iii) f est surjective.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

En dimension finie (attention ! c'est faux en dim infinie) il y a équivalence, pour une fonction f linéaire entre les propositions suivantes :

i) f est bijective
ii) f est injective
iii) f est surjective.

Précisons bien ici qu'il faut que la dimension soit la même au départ et à l'arrivée

[invitead065b7f]

Salut,

Pour donner un exemple qui complete la première partie de la réponse de C.B. , prenons le corps des fractions rationnelles R(X) (les quotients de polynômes). On le note K.

Alors K[Y], l'ensemble des polynômes à coefficient dans K est un K-espace vectoriel de dimension infini (Considère le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré au plus n est de dimension n+1). Dans ce cas les scalaires sont des fractions de polynômes


Amicalement
Moma

[invite613a4e44]

D'accord, merci bcp pour toutes ces précisions.
Mais j'ai encore d'autres questions. Est-ce que, si on a une base de n vecteurs de E et qu'on additionne deux de ces vecteurs entre eux, on a toujours une base? Un exemple:
(e1,e2,...en) base de E Est-ce qu'on a: (e1, e1+e2,e3...en) base de E?
Que représente le déterminant d'une matrice en fait?

[C.B.]

(e1,e2,...en) base de E Est-ce qu'on a: (e1, e1+e2,e3...en) base de E?

Oui :

(e1, e1+e2,e3...en) famille génératrice car, dans l'espace F engendré par (e1, e1+e2,e3...en) on trouve e1,e3,...en mais aussi e2 car e2= (e1+e2)-e1.

Donc F=E.

C'est une base de E, car c'est une famille génératrice de cardinal la dimension de E.

Rappel :
Dans un espace vectoriel de dimension finie, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) (e1,...,en) est une base de E
(ii) (e1,...,en) est une famille libre et n=dim E
(iii) (e1,...,en) est une famille génératrice et n=dim E