sur les matriX

[invitec314d025]

Je crois que j'ai répondu au message 19. A mon avis il manque quelquechose ...
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[invitedf667161]

Toute matrice diagonalisable est un carré car C est clos.

Prendez une suite M_n de matrice diagonalisables qui tend vers M dans M_n(C). Ecrivez-y M_n = A_n^2. La "construction" de A_n à partir de M_n se fait de manière continue : résolution de polynôme du second degré, changement de base et compagnie.

Donc A_n converge vers un élément A de Mn(C). Regardez-y A^2 pour voir.

Sinon il semble qu'on peut aussi faire avec la déomposition polaire en unitaire et symétrique définie positive. Mais là encore il y a des petits problèmes de commutation qui se résolvent à coup de continuité tordue comme ici.

Je crois que j'ai précisé au message #22

[invitec314d025]

Ah oui j'avais pas vu.

La "construction" de A_n à partir de M_n se fait de manière continue : résolution de polynôme du second degré, changement de base et compagnie.

Donc A_n converge vers un élément A de Mn(C). Regardez-y A^2 pour voir.

Oui, j'avais juste eu un moment de doute sur la manière continue de la construction. Mais en imposant de prendre la racine principale, ça ne pose pas de problème.

[moijdikssékool]

si on pose T² = M, on peut assez facilement résoudre le système non?
sachant T triangulaire:
en identifiant, on trouve la première diagonale de T:
on multiplie la première ligne de T par la première colonne de T qui donne m11, on trouve t11 (puisqu'on est dans C, t11² = m11 a toujours une solution), puis on multiplie la 2ème ligne par la 2ème colonne qui donne m22, on trouve t22 et ainsi de suite jusqu'à tnn puis on passe à la 2ème diagonale (ti+1,i) puisque l'on connaît (tii) et ainsi de suite

mais pour cela, il faut montrer que toute matrice triangulaire peut se mettre sous la forme d'un carré de matrice triangulaire, en gros je déplace le problème à la restriction de la surjection aux éléments triangulaires de Mn(C)

[invite8f53295a]

Donc A_n converge vers un élément A de Mn(C). Regardez-y A^2 pour voir.

Non ça ne marche pas : si tu as une fonction continue f d'un espace topologique X dans un autre Y, il est exact que si x_n converge vers x, alors f(x_n) converge vers y. En revanche ici tu ne sais pas a priori que ta fonction f est définie sur X entier : uniquement sur les matrices diagonalisables. Et ce n'est pas parce que x_n converge vers x que f(x_n) va converger vers un élément de Y. Pour cela il faudrait appliquer un critère de Cauchy, ce qui ne se fait bien que si la fonction est uniformément continue (c'est plus restrictif).

Donc quand je disais de chercher un contre-exemple, regardez simplement dans M_2(C), du côté des matrices nilpotentes. Question intermédiaire : quelle est la valeur du plus petit entier n tel que M^n=0 pour toute M nilpotente dans M_2(C) ?

[invitedf667161]

Je crois bien que tu as raison BS. Me serais-je précipité ? Pourtant il me semblait bien que l'aute démonstration avec la décomposition polaire marchait aussi... étrange, tu es sur que ce n'est pas surjectif?

Pour ta question je crois que la réponse est n=2.
Ca m'aide en quoi à trouver une matrice qui soit pas un carré ?

[invitec314d025]

Ca m'aide en quoi à trouver une matrice qui soit pas un carré ?

Si on prend une matrice nilpotente M dans M2(C). On suppose M=A², donc 0=M²=A⁴ donc A est nilpotente donc M=A²=0. La seule matrice nilpotente qui peut s'écrire comme un carré est 0.

Merci BS.

[invitedf667161]

Zut alors!

Je fais deux démos fausses sans m'en rendre compte

Merci BS

[moijdikssékool]

0=M²=A^4 A est nilpotente donc M=A²=0

on peut avoir A nilpotent tel que A^4 = 0 sans que A²=0

[invitedf667161]

Dans M_2(C) non.

[invitedf667161]

Après un peu plus de triturage nous arrivons à la "conjecture" suivante : l'image de cette application est dense (facile!). Plus précisément c'est toutes les matrices qui ne sont pas semblables à la matrice J_n(0) de Jordan. (Justement celle qui pose problème)

Quelqu'un pour infirmer/confirmer ?

[inviteaf1870ed]

J'ai peut etre fait une erreur, mais quel est l'antécédent de la matrice

0 1
1 0

Moi je n'en trouve pas ?

[invitec314d025]

J'ai peut etre fait une erreur, mais quel est l'antécédent de la matrice

0 1
1 0

Moi je n'en trouve pas ?

essaye la matrice:

a b
c d

avec:

[inviteaf1870ed]

Ah oui, j'avais oublié qu'on était sur C

[invite2c72d354]

Si on prend une matrice nilpotente M dans M2(C). On suppose M=A², donc 0=M²=A⁴ donc A est nilpotente donc M=A²=0. La seule matrice nilpotente qui peut s'écrire comme un carré est 0

conclusion :
ce n'est pas surjective ! même sur C !
merci beaucoup à tout le mondepour l'aide

[invite2f68e9c6]

Bizarre, bizarre.... tellement bizarre que c'en est FAUX .

Non mais !!!

[invitec314d025]

Bizarre, bizarre.... tellement bizarre que c'en est FAUX .

Non mais !!!

A moins que tu ne sois resté sur ton idée (fausse) que toutes les matrices dans Mn(C) sont diagonalisables, tu pourrait donner quelques explications ?

[invitedf667161]

Après un peu plus de triturage nous arrivons à la "conjecture" suivante : l'image de cette application est dense (facile!). Plus précisément c'est toutes les matrices qui ne sont pas semblables à la matrice J_n(0) de Jordan. (Justement celle qui pose problème)

Quelqu'un pour infirmer/confirmer ?

Je retente : ça parle à quelqu'un ?