applications linéaires

[invite0f0e1321]

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice sur les applications linéaires:
Soit u un endomorphisme d’un Kev de dimension finie E et soit \lambda dans K.

1)a) Montrer que est valeur propre de u si et seulement si est non nul.
On pose
Cette question, c'est bon

b) Soient et deux valeurs propres distinctes de u. Montrer que
l’intersection entre et est nulle.
Pour cette question, je ne vois pas trop comment faire...

2) Soit u l’endomorphisme de R^3 représenté, dans la base canonique par la matrice
A= (1,1,0;0,2,0;-1,1,2) (j'ai essayé avec LaTex mais je n'y arrive pas...)
a) Identifier u²-3u+2Id
Je ne suis pas très sure de moi, j'ai écrit que:
u²-3u+2Id(x,y,z)=((x+y)²-3(x+y)+2x,4y²-4y,(-x+y+2z)²+5x-y-4z)
est-ce que c'est ça?

b) Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de u. L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Si oui, déterminer une base de vecteurs propres de u, la matrice de u dans cette base et A^k pour tout entier k.
J'ai trouvé 1 et 2 comme valeurs propres mais mon problème est que je n'ai que deux vecteurs propres indépendants de u: (1,0,1) et (0,0,1) donc je ne peux pas en faire une base de R^3...

3) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et soit u un endomorphisme de E tel que
u²-3u+2Id=0.
On pose v=u-Id et w=u-2Id
a) Identifier v-w. En déduire que E=Im v+Im w
Dès cette question, je suis bloquée, je ne vois pas trop comment m'y prendre...
b) Identifier v(w) et w(v). En déduire que : Im v et Im w sont inclus dans Ker v
c) Montrer que E=Ker v + Ker w avec une somme directe (je ne sais pas comment faire le « + entouré »…)
d) Prouver que u est diagonalisable

Merci d'avance pour votre aide
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[invite88ef51f0]

Salut,
Pour la b, prend un élément x de l'intersection entre de et . Ecris que et , et termine...

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup, j'ai en effet \lambda 1 et \lambda 2 distincts donc x=0. Mais pour le reste, je ne vois toujours pas...

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup pour votre aide, pour la question 1b, c'est bon, pour la suite, je m'aperçois que j'ai fait n'importe quoi pour la question 2a et qu'il faut calculer , non? et je trouve 0, c'est un polynôme annulateur de A, donc , non?

Pour les vecteurs propres j'ai repris mes calculs mais je ne vois pas où est mon erreur, voici mes calculs:
si et seulement si
et (2-\lambda)y=0
si , on a:
x=z, y=0 donc E1=vect(1,0,1)
si , on a:
x=y=0 donc E2=vect (0,0,1)

je ne vois pas où est mon erreur.... (mais je sais qu'il y en a une car u est diagonalisable le prof l'a dit!)

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4181796]

2 est valeur propre de multiplicité 2. Est ce que tu as bien posé ton systéme d'equations?

(u cube)-3u +2=0, c'est exact

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup, j'ai repris mes calculs et j'ai trouvé mon erreur, c'est bon, j'ai pu calculé A^k mais je bloque toujours pour la question 3...
Merci encore

[invitef4181796]

a) calculer v-w, c'est pas bien difficile. Ensuite écris x=Id(x)
b) Calcule le produit vw (=wv), cela devrait résoudre la premiére partie de la question. Par contre, je crois qu'il y a une erreur ensuite. A mon avis, il faut mq Im v et Im W sont inclus dans ker w et ker v respectivement.
c) prend un vecteur dans l'intersection de ker v et ker w. Utilise la relation de a pour conclure qu'il est nule, la somme est donc directe. Ensuite, utilise a et b pour conclure que la somme est E en entier.
d) Quelle realtion y a ti entre kerv, ker w et les vecteurs propres de u? utilise c pour conclure