Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice sur les applications linéaires:
Soit u un endomorphisme d’un Kev de dimension finie E et soit \lambda dans K.
1)a) Montrer queest valeur propre de u si et seulement si
est non nul.
On pose![]()
Cette question, c'est bon
b) Soientet
deux valeurs propres distinctes de u. Montrer que
l’intersection entreet
est nulle.
Pour cette question, je ne vois pas trop comment faire...
2) Soit u l’endomorphisme de R^3 représenté, dans la base canonique par la matrice
A= (1,1,0;0,2,0;-1,1,2) (j'ai essayé avec LaTex mais je n'y arrive pas...)
a) Identifier u²-3u+2Id
Je ne suis pas très sure de moi, j'ai écrit que:
u²-3u+2Id(x,y,z)=((x+y)²-3(x+y)+2x,4y²-4y,(-x+y+2z)²+5x-y-4z)
est-ce que c'est ça?
b) Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de u. L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Si oui, déterminer une base de vecteurs propres de u, la matrice de u dans cette base et A^k pour tout entier k.
J'ai trouvé 1 et 2 comme valeurs propres mais mon problème est que je n'ai que deux vecteurs propres indépendants de u: (1,0,1) et (0,0,1) donc je ne peux pas en faire une base de R^3...
3) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et soit u un endomorphisme de E tel que
u²-3u+2Id=0.
On pose v=u-Id et w=u-2Id
a) Identifier v-w. En déduire que E=Im v+Im w
Dès cette question, je suis bloquée, je ne vois pas trop comment m'y prendre...
b) Identifier v(w) et w(v). En déduire que : Im v et Im w sont inclus dans Ker v
c) Montrer que E=Ker v + Ker w avec une somme directe (je ne sais pas comment faire le « + entouré »…)
d) Prouver que u est diagonalisable
Merci d'avance pour votre aide
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