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Une petite série ...



  1. #1
    Bleyblue

    Une petite série ...


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à savoir si la série suivante converge (et dans l'affirmative trouver sa limite) :



    Je sais qu'il existe tout un arsenal de tests de convergences mais je ne suis pas encore sensé les connaîtres donc je dois y arriver sans cela.

    Les seules théorèmes que je connais pour tester une série sont ceux qui disent que :



    si an et bn convergent :



    et alors un dernier sur les séries géométriques mais qui ne me servira à rien ici étant donné que ce n'est pas une série géométrique

    Comment pourrais-je m'en sortir ? Je ne vois pas trop ...

    merci

    -----
    Dernière modification par Bleyblue ; 01/04/2006 à 20h36.

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  3. #2
    ChromoMaxwell

    Re : Une petit série ...

    C'est une série télescopique. Somme de (f(n)-f(n+1)). Le test standard dit qu'elle converge ssi f admet une limite à l'infini. Auquel cas la somme vaut f(n_0) - lim(f) où n_0 est le premier terme. Ici, ça vaut sin(1). En plus f est ici décroissante, donc il y a absolue convergence.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Une petit série ...

    Ah oui j'avais oublié le coup de la téléscopie

    Ok ça marche bien, merci !

  5. #4
    chwebij

    Re : Une petite série ...

    bonjour
    tu peux majorer ta serie par la serie et vue que ta premiere serie est a terme positif, soit croissante, il suffit que la derniere serie converge vers une limite pour que ta premiere serie cv.(que l'on montre avec la serie de terme general exponentielle complexe a la puissance un sur n). voila pour la methode sans connaitre les series.
    il ya d'autre facon comme trouver l'equivalent(necessitant le cours sur les series)
    pour la methode de telescopie je ne la connaissait pas
    Dernière modification par chwebij ; 01/04/2006 à 23h22.

  6. #5
    chwebij

    Re : Une petite série ...

    Citation Envoyé par chwebij
    que l'on montre avec la serie de terme general exponentielle complexe a la puissance un sur n).
    oulaaaaa! je me suis enflammé
    je suis desole d'avoir pondu ca, dsl....

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Ca n'existe pas c'est moi qui ai inventé le terme télescopie

    C'est juste qu'on appele les séries comme cell-ci des séries télescopiques car tous les termes se réduisent à deux termes si on développe (par allusion à une ancienne longue vue ou tous les tubes s'emboîtaient ...)

    Sinon j'ai une autre question, je cherche c tel que :



    Donc :











    et en vertu d'un théorème sur les suites géométriques démontré dans mon livre le membre de gauche devient :



    en injectant et en réarrageant les termes je tombe sur :



    c'est à dire :



    et la série diverge pour

    et converge bien vers 2 pour :



    mais j'aimerai bien comprendre d'où provient la deuxième solution ? Elle est à rejeter évidemment mais je n'aime pas ça (c'est un truc de physicien ça de rejeter les réponses qui ne conviennent pas ) , qu'est ce que ça signifie ?

    merci

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  10. #7
    nissart7831

    Re : Une petite série ...

    Bonsoir,

    ce ne serait par hasard parce que le théorème que tu utilises n'est valable que pour c ]-1,1[ (histoire de rayon de convergence)?
    Ce qui n'est le cas que pour une seule de tes solutions.
    Non ?

  11. #8
    nissart7831

    Re : Une petite série ...

    Je rectifie ce que j'ai dit dans mon post précedent ce n'est pas c mais 1/(1+c) qui doit appartenir à ]-1, 1[.
    Ce qui te donne une condition sur c qu'une seule de tes valeurs vérifie.
    Ca, je crois que c'est bon.
    Non ?

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Ah mais non en fait c doit appartenir à ]-oo, -2[ U ]0, +oo [ de manière à avoir -1 < 1/(1 + c) < 1 et ça n'est vérifié que pour une des valeurs de c en effet.

    J'avais oublié cette condition, merci !

  13. #10
    nissart7831

    Re : Une petite série ...

    Citation Envoyé par Bleyblue
    J'avais oublié cette condition, merci !
    You are welcome.

    Il faut toujours faire attention à l'énoncé d'un théorème. Chaque "virgule" est importante.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Oui.

    Tiens quelqu'un sait il par quels mathématiciens et quand (approximativement) la théorie relative aux séries a elle été mise au point ?

    merci

  15. #12
    BS

    Re : Une petite série ...

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Tiens quelqu'un sait il par quels mathématiciens et quand (approximativement) la théorie relative aux séries a elle été mise au point ?
    Cela fait très longtemps que les gens utilisent des séries (Bernoulli, Euler, etc.) mais sans le cadre analytique rigoureux que l'on connaît maintenant. Même Cauchy a fait des erreurs en utilisant des séries de fonctions (corrigée par Abel si je me souviens bien), donc on peut dire qu'à partir des fondements de l'analyse 'epsilonesque' par Weierstrass, la théorie a dû ressembler à ce que l'on connaît actuellement.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Ah tiens, je pensais que l'analyse 'epsilonesque' comme tu dis c'était d'avantage du à Cauchy qu'a Weierstrass

    Mais c'est sans doute du un peu aux deux je suppose ...

    merci

  18. #14
    martini_bird

    Re : Une petite série ...

    Salut,

    Weierstrass est de loin postérieur à Cauchy.

    Et comme le dit BS, la manipulation des séries remonte au moins aux Bernoulli, Euler étant le premier à les utiliser abondamment (et comment !). Sinon on peut aussi remonter à l'école anglaise du XIIème : Wallis, Taylor et leurs prédécesseurs.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  19. #15
    martini_bird

    Re : Une petite série ...

    du XIIème
    Il manque un V... Comprenez : du XVIIème
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Je vois c'est assez ancien ...
    J'ai même vu une note dans mon livre qui parle d'un certain Nicole Orseme du XIII ième siècle qui aurait le premier démontrer que la série harmonique divergait.

    merci

  21. #17
    nissart7831

    Re : Une petite série ...

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je vois c'est assez ancien ...
    J'ai même vu une note dans mon livre qui parle d'un certain Nicole Orseme du XIII ième siècle qui aurait le premier démontrer que la série harmonique divergait.
    C'est plutôt Nicole Oresme (ou Nicolas d'Oresme) :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicole_Oresme

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Oui il s'agit d'une faute de frappe désolé

  23. Publicité
  24. #19
    Bleyblue

    Re : Une petite série ...

    Je dois montrer que si est convergente et divergente alors est divergente aussi

    Supposons convergente. On a alors (par un théorème démontré dans le livre) :



    soit B la somme de la première série du membre de droite (qui existe vu qu'elle converge) et A la somme de la série du membre de gauche (qui existe aussi par hypothèse)

    (A et B sont deux réels) :

    A = B +

    soit C = (A - B) (C est donc aussi un réel) :

    C =

    ce qui n'est pas possible vu que la série diverge.
    Donc l'hypothèse de départ est fausse et diverge

    c'est bon je pense non ?

    merci

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