Une petite série ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche à savoir si la série suivante converge (et dans l'affirmative trouver sa limite) :



Je sais qu'il existe tout un arsenal de tests de convergences mais je ne suis pas encore sensé les connaîtres donc je dois y arriver sans cela.

Les seules théorèmes que je connais pour tester une série sont ceux qui disent que :



si an et bn convergent :



et alors un dernier sur les séries géométriques mais qui ne me servira à rien ici étant donné que ce n'est pas une série géométrique

Comment pourrais-je m'en sortir ? Je ne vois pas trop ...

merci
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[invite5e1117d5]

C'est une série télescopique. Somme de (f(n)-f(n+1)). Le test standard dit qu'elle converge ssi f admet une limite à l'infini. Auquel cas la somme vaut f(n_0) - lim(f) où n_0 est le premier terme. Ici, ça vaut sin(1). En plus f est ici décroissante, donc il y a absolue convergence.

[Bleyblue]

Ah oui j'avais oublié le coup de la téléscopie

Ok ça marche bien, merci !

[chwebij]

bonjour
tu peux majorer ta serie par la serie et vue que ta premiere serie est a terme positif, soit croissante, il suffit que la derniere serie converge vers une limite pour que ta premiere serie cv.(que l'on montre avec la serie de terme general exponentielle complexe a la puissance un sur n). voila pour la methode sans connaitre les series.
il ya d'autre facon comme trouver l'equivalent(necessitant le cours sur les series)
pour la methode de telescopie je ne la connaissait pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[chwebij]

que l'on montre avec la serie de terme general exponentielle complexe a la puissance un sur n).

oulaaaaa! je me suis enflammé
je suis desole d'avoir pondu ca, dsl....

[Bleyblue]

Ca n'existe pas c'est moi qui ai inventé le terme télescopie

C'est juste qu'on appele les séries comme cell-ci des séries télescopiques car tous les termes se réduisent à deux termes si on développe (par allusion à une ancienne longue vue ou tous les tubes s'emboîtaient ...)

Sinon j'ai une autre question, je cherche c tel que :



Donc :











et en vertu d'un théorème sur les suites géométriques démontré dans mon livre le membre de gauche devient :



en injectant et en réarrageant les termes je tombe sur :



c'est à dire :



et la série diverge pour

et converge bien vers 2 pour :



mais j'aimerai bien comprendre d'où provient la deuxième solution ? Elle est à rejeter évidemment mais je n'aime pas ça (c'est un truc de physicien ça de rejeter les réponses qui ne conviennent pas ) , qu'est ce que ça signifie ?

merci

[nissart7831]

Bonsoir,

ce ne serait par hasard parce que le théorème que tu utilises n'est valable que pour c ]-1,1[ (histoire de rayon de convergence)?
Ce qui n'est le cas que pour une seule de tes solutions.
Non ?

[nissart7831]

Je rectifie ce que j'ai dit dans mon post précedent ce n'est pas c mais 1/(1+c) qui doit appartenir à ]-1, 1[.
Ce qui te donne une condition sur c qu'une seule de tes valeurs vérifie.
Ca, je crois que c'est bon.
Non ?

[Bleyblue]

Ah mais non en fait c doit appartenir à ]-oo, -2[ U ]0, +oo [ de manière à avoir -1 < 1/(1 + c) < 1 et ça n'est vérifié que pour une des valeurs de c en effet.

J'avais oublié cette condition, merci !

[nissart7831]

J'avais oublié cette condition, merci !

You are welcome.

Il faut toujours faire attention à l'énoncé d'un théorème. Chaque "virgule" est importante.

[Bleyblue]

Oui.

Tiens quelqu'un sait il par quels mathématiciens et quand (approximativement) la théorie relative aux séries a elle été mise au point ?

merci

[invite8f53295a]

Tiens quelqu'un sait il par quels mathématiciens et quand (approximativement) la théorie relative aux séries a elle été mise au point ?

Cela fait très longtemps que les gens utilisent des séries (Bernoulli, Euler, etc.) mais sans le cadre analytique rigoureux que l'on connaît maintenant. Même Cauchy a fait des erreurs en utilisant des séries de fonctions (corrigée par Abel si je me souviens bien), donc on peut dire qu'à partir des fondements de l'analyse 'epsilonesque' par Weierstrass, la théorie a dû ressembler à ce que l'on connaît actuellement.

[Bleyblue]

Ah tiens, je pensais que l'analyse 'epsilonesque' comme tu dis c'était d'avantage du à Cauchy qu'a Weierstrass

Mais c'est sans doute du un peu aux deux je suppose ...

merci

[martini_bird]

Salut,

Weierstrass est de loin postérieur à Cauchy.

Et comme le dit BS, la manipulation des séries remonte au moins aux Bernoulli, Euler étant le premier à les utiliser abondamment (et comment !). Sinon on peut aussi remonter à l'école anglaise du XIIème : Wallis, Taylor et leurs prédécesseurs.

Cordialement.

[martini_bird]

du XIIème

Il manque un V... Comprenez : du XVIIème

[Bleyblue]

Je vois c'est assez ancien ...
J'ai même vu une note dans mon livre qui parle d'un certain Nicole Orseme du XIII ième siècle qui aurait le premier démontrer que la série harmonique divergait.

merci

[nissart7831]

Je vois c'est assez ancien ...
J'ai même vu une note dans mon livre qui parle d'un certain Nicole Orseme du XIII ième siècle qui aurait le premier démontrer que la série harmonique divergait.

C'est plutôt Nicole Oresme (ou Nicolas d'Oresme) :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicole_Oresme

[Bleyblue]

Oui il s'agit d'une faute de frappe désolé

[Bleyblue]

Je dois montrer que si est convergente et divergente alors est divergente aussi

Supposons convergente. On a alors (par un théorème démontré dans le livre) :



soit B la somme de la première série du membre de droite (qui existe vu qu'elle converge) et A la somme de la série du membre de gauche (qui existe aussi par hypothèse)

(A et B sont deux réels) :

A = B +

soit C = (A - B) (C est donc aussi un réel) :

C =

ce qui n'est pas possible vu que la série diverge.
Donc l'hypothèse de départ est fausse et diverge

c'est bon je pense non ?

merci