Applications linéaires

[inviteb2fd4e16]

Bonjour,
Voila j'ai un exo sur les applications linéaires et je n'y arrive pas du tout.
Voila l'énoncé

Dans cette partie, n désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2. On note E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n, et Bo la base (1,X,...X^n) de E.
Soit f l'application qui, à tout polynome P de E associe le polynome f(P) défini par f(P) = 3XP' + (X^2 - 1)P''

1. Vérifier que f est un endomorphisme (fait !!)
2a. Pour tout k tel que 0<_k<_n, déterminer f(X^k) (fait )
b. Determiner une base de l'image de f
c. Déterminer une base du noyau de f

Voila merci d'avance
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[invited776e97c]

Tu as 2 choix : Ou bien tu réfléchit matriciellement , c'est ce que l'énonce te propose de faire, tu écrit la matrice dans la base canonique et puis tu déroule ton cours.
Ou tu cherche explicitement le noyau et l'image en repartant de la définition .

[inviteb2fd4e16]

Déjà merci mais en fait je vois vraiment pas comment faire, cette leçon c'est vraiment pas mon truc. Donc là ce que tu me dis c'est presque du charabia, donc si ça te dérangerais pas de m'indiquer un eu plus ça serait cool.
Merci

[invited776e97c]

Deja l'image d'un endomorphisme est entièrement déterminer par l'image des vecteurs d'une base de l'espace de départ dont ici Rn[X].
Soit premier cas:
Tu détermine l'image de l'endo à a partir des f(x^k) (image des vecteurs de l'ensemble de départ) que tu as calculer.Le noyau, en posant que tu recherche les polynômes qui vérifient f(P)=0 , bon ici , c'est pas la bonne méthode mais c'est bon à retenir, surtout pour les endomorphisme de polynômes.
Deuxième cas :Tu fait l'étude matricielle en écrivant la matrice de ton endo dans la canonique de Rn .(Ca tu sait faire)
Pour déterminer le noyau , tu cherche les polynômes P décompose dans base canonique sous la forme vecteur colonne X tel que A*X=0, il s'agit de déterminer les composantes du vecteur X qui sont aussi les coefficients de tes polynomes inconnues qui appartiennent à ton noyau, cet ensemble constitue un espace dont tu détermine une base.(D'abord une famille generatrice puis tu verifie qu'elle constitue une base.)
Pour l'image , il faut déterminer les vecteurs images qui sont linéairement indépendant.Tu détermine la dimension de l'image a partir du théorème du rang, tu vérifie que ces vecteurs constituent une famille libre et que tu as le bon nombre de vecteurs qui doit être égale a la dimension de l'image par f de Rn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2fd4e16]

alors jcomprens ce que tu veux que je fasse, mais je ne vois pas comment écrire le truc en matrice, le fait que ça soit dans Rn me perturbe complétement, je sais plus rien faire.

Bon comme je sais que c'est trés énervant qd quelqu'un ne comprend ce qu'on dit tu peux laisser tomber

Merci en tout cas

[invite0fb72cf8]

Pour le 2b, regarde ce qu'il advient à tes vecteurs de base.

Pour k > 1,

Tu retrouves donc un polynome de degré k.
Pour k = 1

Et pour k = 0

Tu peux maintenant vérifier que la famille des pour est une famille de vecteurs linéairement indépendants, et que, pour tout polynôme de degré au plus n, pourra être décomposé dans la base des .

Ensuite, il est facile de voir que le noyau de f est l'ensemble des polynômes de degré 0.

[inviteb2fd4e16]

Merci pour vos reponses, alors voila ce que j'ai trouvé et j'aimerais savoir si c'est bon.

Alors j'ai trouvé que Imf = vect ( f(1) .... f(x^k))
j'ai dit que dim im f = n + 1 et que dim E = n + 1 donc dim ker = 0

Ker f = (0)

Voila merci

[invite57a1e779]

Ker f = (0)

Alors que tu as du trouver !

[inviteb2fd4e16]

euhh je vois pas là f(X^O) = f(1) = 0 ?!!!

[invited776e97c]

Kerf n'est pas de dim 0 car f(1)=0.

[inviteb2fd4e16]

Alors dim Im f n'est pas n+1, je ne comprends plus rien, pourtant le fait que Im (f) = vect ( f(1) ... f(X^k)) me paraissait juste ...

[invite57a1e779]

Alors dim Im f n'est pas n+1, je ne comprends plus rien, pourtant le fait que Im (f) = vect ( f(1) ... f(X^k)) me paraissait juste ...

C'est juste, mais tu n'as qu'une famille génératrice de l'image de f, pas une base : tu ne peux donc pas en déduire la dimension...

[inviteb2fd4e16]

Mais la famille f(1) ... f(X^k) est libre car c'est une famille de polynomes de degrés deux à deux différents.
Peux tu me guider un peu plus parce que je ne vois pas du tout
Merci

[invite57a1e779]

Une famille qui contient un élément nul (dans ton cas c'est f(1) qui est nul) ne peut pas être libre...

[inviteb2fd4e16]

donc Im f = vect (f(X) ... f(X^k) donc dim Im = n et Ker f = (1) ??

[invite57a1e779]

Cela semblerait mieux, si tu es capable de mettre en place correctement la liberté de cette nouvelle famille génératrice, c'est-à-dire avec un énoncé précis qui fonctionne ici, mais qui ne fonctionnait pas avec la famille génératrice initiale.

[inviteb2fd4e16]

D'accord, mais sinon les réponses sont justes ?
Merci