Dérivé n-iemes d'un composé de deux fonctions

[Numenor1990]

Bonjour
La formule de Leibniz nous permet de calculer la derivé n-iemes du produit, y t il une formule qui nous permet de calculer celle d'un composé de deux fonctions de C(infini)?
J'ai essayé, j'ai trouvé une somme jusqu'à n=3 mais quand n dépasse cette valeur je suis obligé d'ajouter un autre terme a la somme:s.
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[Le lyceen59155]

Il n'existe pas une telle formule , tu aura souvent besoin d'une formule de récurrence pour résoudre ce type de problème.

[GalaxieA440]

mmm peut être la règle de la chaîne non ??

[Le lyceen59155]

Jamais entendu parler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[blou92]

bonsoir,
Il me semble qu'on peut établir une formule compliquée type "Leibniz"
dont le premier terme est g⁽ⁿ⁾*f'(g) et le dernier est(g')ⁿ*f⁽ⁿ⁾(g) au centre une somme de composées complexes pour k variant de 1 à n-1.

[Numenor1990]

exactement! Mais le gros problème est dans ces k, voilà la somme que j'ai trouvé valabla jusqu'à 3 mais sans les coefficients (je pense qu'ils apparetrons avec des combinaisons ou des arrangement):
(la somme des k allant de 1 jusqu'à n)u(derivé k-iemes)*(u')(puissance n-k)*(f(u))(dérivé n-k+1)
Pour n supérieur a 3, j'ai essayé jusqu'à 5 je dois a ajouter a cette somme u")^2*(f(u))")(derive k-4)

Je sens qu'il y a une forme, qu'on on calcule, ontrouve que c'est tellement regulier, par exemple: le terme ajouté dans n=5 est le derivé de celui ajouté au 4, et je suis presque sur que les coefficients ne sont pas la par hasard.

[Numenor1990]

euh...
On veut plus chercher avec moi?

[Electrofred]

Salut,

Pourtant ça saute aux yeux non ? Au vu des premiers essais et si ma mémoire est bonne je dirais :
Si f et g sont indéfiniment dérivables sur il en est de même de leur composée et où les désignent des coefficients entiers.
Un copain a eu ça à démontrer en khôlle il y a deux semaines, faudra que je lui redemande.



Plus sérieusement voici d'où ça vient : http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...derivation.pdf , je n'ai pas trop lu mais ça a l'air original comme démonstration, ça vient de cette discussion si ça t'interesse : http://forums.futura-sciences.com/ma...-composee.html (hé oui c'est pas moi qui me suis amusé à latexer la grosse formule ).

Enfin c'est assez inutilisable comme formule si c'est pour un exo de prépa il doit y avoir moyen de faire autrement (ou alors ton prof est vraiment sadique ).

J'espère avoir pu t'aider.

A+

[Numenor1990]

vous inquietez pas c'était par pure curiosité
Merci infiniment