Algèbre linéaire...

[invite16343f37]

Salut, voici une colle pour vous Soit T:V--->V une application linéaire telle que T^2=T, et soit Id l'application identité de V. (i.e Id(v)=v, pour tous v éléments de V). Démontrer que
a) imT=ker(T-I)
b)V=imT somme directe de kerT

Bon, pour la première partie sa, par contre, pour la partie, b), je n'y arrive simplement pas... Je crois qu'il faut utiliser la partie de a), mais même avec cela, je n'y arrive pas... Toute aide serait apprécié!!
merci à l'avance!
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[invitec317278e]

Démontrons donc cette somme directe :

soit x appartenant à Ker(T) inter Ker(T-Id).
Alors, comme x appartient à Ker(T-Id), T(x)-x=0, donc T(x)=x.
Or, comme x appartient à Ker(T), T(x)=0.

Ainsi, on a T(x)=x et T(x)=0.

Donc x=0.

Il faut aussi montrer que E est inclus dans la somme directe...vois-tu comment faire ?