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Applications linéaires



  1. #1
    sandalk

    Applications linéaires


    ------

    bonsoir j'aurais besoin d'aide pour résoudre un exo :

    (x,y,z) R^3, f(x,y,z)=(-x+y+z, -6x+4y+2z, 3x-y+z)

    écrire chacun des ensembles Ker f et Im f sous la forme Vect(a1,a2,...)

    j'ai trouvé Ker f = Vect(1,2,-1) par contre pour Im f je n'arrive pas à résoudre le système, j'ai commencé : (a,b,c) Im f ssi il existe (x,y,z) tel que -x+y+z=a, -6x+4y+2z=b, 3x-y+z=c

    pourriez-vous m'aider résoudre ce système ?

    je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne soirée

    -----

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  3. #2
    davidsebaoun

    Re : applications linéaires

    Salut,

    tu peux dire que l'image des vecteurs de la base de départ, forme une base d'arrivée
    calcule f(1,0,0)
    f(0,1,0)
    et
    f(0,0,1)

  4. #3
    sandalk

    Re : applications linéaires

    donc en fait ca me donne Im f = Vect [(-1,-6,3),(1,4,-1),(1,2,1)] , c'est ça ?

  5. #4
    fderwelt

    Re : Applications linéaires

    Bonjour,

    C'est bien, mais vérifie le rang de ta matrice. Les 3 vecteurs que tu obtiens engendrent Im(f) mais n'en sont pas forcément une base...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    sandalk

    Re : Applications linéaires

    si je prends comme base de départ [(2,1,0),(0,1,2),(0,0,1)] alors Im f= Vect[(-1,-8,5),(3,8,1),(1,2,1)] et là ça fonctionne non ?

  8. #6
    fderwelt

    Re : Applications linéaires

    Tu peux prendre ce que tu veux comme base de départ, disons (u1,u2,u3) sans plus préciser. Alors (f(u1),f(u2),f(u3)) sera une famille génératrice de Im f. Mais pas forcément une base, parce qu'ils ne sont pas forcément indépendants. Et c'est justement le cas ici, fais le calcul et tu verras que det(f) = 0. Si tu as vu ça en cours tu peux calculer le polynôme caractéristique de f et voir qu'il a 0 comme racine (simple dans ce cas).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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  10. #7
    ericcc

    Re : Applications linéaires

    Je te propose une méthode simple : tu sais que la dimension de l'image est 2, d'après le théorème du rang (dimKer + dimIm=dimE).
    Donc il te suffit de trouver deux vecteurs linéairement indépendants qui appartiennent à Im.
    Tu as des candidats tout trouvés avec l'image des vecteurs de ta base. Par exemple f(0,1,0)=(1,4,-1) et f(0,0,1)=(1,2,1). Il est facile de montrer que c'est une famille libre. Comme ton sev est de dimension 2, c'est une base.

  11. #8
    sandalk

    Re : Applications linéaires

    ok merci à vous

    j'aurais par contre un autre problème :

    je dois montrer que F et G sont des sous espaces vectoriels de E
    avec: E un C-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f²= -Id E
    F={xE,f(x)=ix} et G={xE, f(x)=-ix}

    par exemple pour F: je prends f,g F C
    alors (f+g)(x)=f(x)+g(x)
    =ix+ix
    =ix(1+)
    donc ce n'est pas un sev

    me serais-je trompée ?

  12. #9
    ericcc

    Re : Applications linéaires

    F et G sont des ensembles de vecteurs, pas d'applications !
    Tu dois prendre x et y dans F et montrer que x+ay est dans F, avec ce que tu sais de l'application f.

  13. #10
    sandalk

    Re : Applications linéaires

    d'accord merci beaucoup

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