Applications linéaires

[invitedf04a0e5]

bonsoir j'aurais besoin d'aide pour résoudre un exo :

(x,y,z) R^3, f(x,y,z)=(-x+y+z, -6x+4y+2z, 3x-y+z)

écrire chacun des ensembles Ker f et Im f sous la forme Vect(a1,a2,...)

j'ai trouvé Ker f = Vect(1,2,-1) par contre pour Im f je n'arrive pas à résoudre le système, j'ai commencé : (a,b,c) Im f ssi il existe (x,y,z) tel que -x+y+z=a, -6x+4y+2z=b, 3x-y+z=c

pourriez-vous m'aider résoudre ce système ?

je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne soirée
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[invite3005fea4]

Salut,

tu peux dire que l'image des vecteurs de la base de départ, forme une base d'arrivée
calcule f(1,0,0)
f(0,1,0)
et
f(0,0,1)

[invitedf04a0e5]

donc en fait ca me donne Im f = Vect [(-1,-6,3),(1,4,-1),(1,2,1)] , c'est ça ?

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

C'est bien, mais vérifie le rang de ta matrice. Les 3 vecteurs que tu obtiens engendrent Im(f) mais n'en sont pas forcément une base...

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf04a0e5]

si je prends comme base de départ [(2,1,0),(0,1,2),(0,0,1)] alors Im f= Vect[(-1,-8,5),(3,8,1),(1,2,1)] et là ça fonctionne non ?

[invite6de5f0ac]

Tu peux prendre ce que tu veux comme base de départ, disons (u₁,u₂,u₃) sans plus préciser. Alors (f(u₁),f(u₂),f(u₃)) sera une famille génératrice de Im f. Mais pas forcément une base, parce qu'ils ne sont pas forcément indépendants. Et c'est justement le cas ici, fais le calcul et tu verras que det(f) = 0. Si tu as vu ça en cours tu peux calculer le polynôme caractéristique de f et voir qu'il a 0 comme racine (simple dans ce cas).

-- françois

[inviteaf1870ed]

Je te propose une méthode simple : tu sais que la dimension de l'image est 2, d'après le théorème du rang (dimKer + dimIm=dimE).
Donc il te suffit de trouver deux vecteurs linéairement indépendants qui appartiennent à Im.
Tu as des candidats tout trouvés avec l'image des vecteurs de ta base. Par exemple f(0,1,0)=(1,4,-1) et f(0,0,1)=(1,2,1). Il est facile de montrer que c'est une famille libre. Comme ton sev est de dimension 2, c'est une base.

[invitedf04a0e5]

ok merci à vous

j'aurais par contre un autre problème :

je dois montrer que F et G sont des sous espaces vectoriels de E
avec: E un C-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f²= -Id E
F={xE,f(x)=ix} et G={xE, f(x)=-ix}

par exemple pour F: je prends f,g F C
alors (f+g)(x)=f(x)+g(x)
=ix+ix
=ix(1+)
donc ce n'est pas un sev

me serais-je trompée ?

[inviteaf1870ed]

F et G sont des ensembles de vecteurs, pas d'applications !
Tu dois prendre x et y dans F et montrer que x+ay est dans F, avec ce que tu sais de l'application f.

[invitedf04a0e5]

d'accord merci beaucoup