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Sous espace compact d'un espace de Hilbert



  1. #1
    neurone en panne

    Sous espace compact d'un espace de Hilbert


    ------

    Bonjour !

    Voila ce que je dois montrer :
    Soit {ek}k>0 un ensemble orthonormal dans un espace de Hilbert H.
    Si {ck}k>0 est une suite de réels positifs tels que ck² < .
    Alors, l'ensemble
    A = { akek : |ak|<ck} est compact dans H.

    J'ai essayé de procéder en sachant que A est compact dans H si toute suite bornée de A a une sous-suite qui converge en norme vers un élément de A.
    Par construction de A, tout élément de A est majoré par ckek,
    donc majoré en norme par la somme ck², qui est par hypothèse finie, disons égale à R < . Donc, tout élément (et donc toute suite d'éléments de A) est contenu dans une "boule" centrée en 0 et de rayon R.
    Donc, je prends une suite arbitraire et dois montrer qu'elle a une sous-suite qui converge vers un élément de A. Là, je sais pas comment procéder.
    Quelqu'un a une idée ?
    Merci.

    -----

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  3. #2
    aaron34

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    moi je pourrais pas t aider, je parle pas la meme langue que toi, par contre toi je pense ke tu viendrais facilement a bout de mon probleme...
    j ai expliqué tout ca dans le topic mathematique college lycée.
    merci d avance.

  4. #3
    Thorin

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    Il n'y a pas une égalité large à la place d'une égalité stricte, tu es sûr ? j'ai l'impression (purement intuitive, j'ai pas vraiment réfléchi) que sans inégalité large, ça ne fonctionne pas.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #4
    ThSQ

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    Oui, avec une inégalité stricte le truc risque fort de pas être fermé.

    Sinon, c'est quoi la condition sur c_k ?


    PS : le latex marche plus on dirait

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garnet

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    Tu montres que A munie de la topologie norme L^2 est homeomorphe a A munie de la topologie produit, qui celle ci compact par Tychonoff.

  8. #6
    neurone en panne

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    Bonjour,

    Effectivement, dans A = { akek : |ak|<ck}, l'inégalité est large . Mais moi, ça m'inspire pas plus avec une inégalité large...

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  10. #7
    ThSQ

    Re : Sous espace compact d'un espace de Hilbert

    Latex est revenu, c'est plus clair !

    Avec Tychonov ça le fait en effet, en prenant plutôt non ?

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