En mécanique quantique un système est décrit par un espace de Hilbert et on a coutume de définir comme "base" un ensemble de vecteurs propres d'un opérateur "observable" e.g. énergie, position, spin, impulsion, etc... Pour le spin d'une particule, l'espace est de dimension 2, et on a donc une base "algébrique". Pour l'énergie d'un oscillateur harmonique, on a une base infinie dénombrable, donc une "base Hilbertienne" dénombrable sur un espace donc séparable. Pour la position d'une particule, ou son impulsion, les choses se corsent car la "base" utilisée est l'ensemble (continu et donc non dénombrable) des états de positions (ou d'impulsion) possibles, sauf que ces "vecteurs états" n'appartiennent plus à l'espace de Hilbert car ils ne peuvent être normalisés. On doit faire appel aux distributions, mais les "vecteurs" états correspondants ne sont plus dans l'espace de Hilbert représentant le système. Quelle est la nature de cet espace qui comprend ces états limites qui ne sont pas dans l'espace de Hilbert représentant le système? Les ouvrages de MQ les plus complets escamotent le pb (Cohen-Tanjoudji par exemple, pourtant le plus précis sur le sujet), et les cours de Math que je connais ne parlent que de "bases hilbertiennes" composées de vecteurs appartenant bien sûr à l'espace lui-même (séparable ou non, suivant que la base hilbertienne est dénombrable ou non).
Quelqu'un peut'il m'éclairer?
-----
