Fonction répartition, tribu, borélien: questions de base..

[invitea74569ea]

Bonjour à tous,

je cherche quelques indications concernant plusieurs notions. Faire des proba pour valider des partiels se fait assez facilement, bien comprendre sur quoi on travaille reste autre chose..

Je me rends compte avec le recul que je n'ai pas conscience de l'importance d'un ensemble boréliens ou d'une tribu engendrée par C pour exemple..

On me propose une définition des boréliens:
- réunion dénombrable d'intervalles ouvertes
- ouvert pour la typologie sur R
De même, je ne comprends pas la notion de topologie, est-ce juste une notation, mais alors quelle distinction entre la topologie discrète O=S(E) et celle dite grossière: O={E,ensemble vide}?

Il semblerait aussi qu'une tribu borélienne équivaut à une tribu engendrée...En fait je n'arrive vraiment pas à ordonner tout ça dans ma tête et en avoir une idée claire, ce pourquoi je finis par poser la question sur ce forum; en espérant trouver des solutions qui éclairent mon problème.

Une dernière question, pourquoi la fonction de répartition pour des va continues est la primitive de la fonction de densité?
Si la fonction de répartition est utilisée pour les va discrète, alors pourquoi serait-elle la primitive de la densité, fn consacrée pour le continu? De la même manière, pourquoi ne pas parler de fn de densité pour des va discrète dans ce cas. J'essaye de faire une distinction, une nouvelle fois bien floue..

Merci beaucoup pour votre attention

ajanim
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[Armen92]

Je ne comprends pas bien le sens de vos premières questions...

En ce qui concerne la dernière :
Pour des va absolument continues, et par définition de celles-ci, la fonction de répartition F(x) s'écrit comme l'intégrale de la densité p(x) ou, si l'on préfère, la dérivée de F, F', est égale à p.
Pour des variables continues (mais pas absolument continues), la dérivée de F peut être partout nulle... et pourtant elle (F) croît ! (voir la fonction de Cantor).

En jouant avec la "fonction" de Dirac, il est tout à fait possible de parler de densité pour des va discrètes, puisque la "fonction" de Dirac est la dérivée de la fonction échelon. Ceci permet en fait de traiter dans le même formalisme les va discètes et les va absolument continues.

[invitea74569ea]

Merci pour ces pistes que je vais tâcher d'approfondir.

Mes 1ère questions étaient en fait:
- Qu'est-ce qu'un borélien et quelle est son utilité?
- que signifie les 2 types de topologie?
- a quoi sert de justifier qu'un tribu est engendrée par C?

merci encore pour vos indications

[taladris]

Salut!

[quote]
- que signifie les 2 types de topologie?
[\quote]
Ces deux topologies, discrète et grossière, sont les exemples les plus simples de topologie. Elles sont surtout données à titre d'exemple dans un cours de topologie.
La première (la topo discrète) a néanmoins une utilité: c'est une topologie très naturelle sur les ensembles finis. Par exemple, la topologie induite sur N par la topologie usuelle de R est la topologie discrète.
La topologie grossière n'a, à ma connaissance, que peu d'intérêt. Pour la topologie grossière, tous les poins sont voisins de tous les points et tous les points sont limites de toutes les suites!

[quote]
- a quoi sert de justifier qu'un tribu est engendrée par C?
[\quote]
En général, on peut difficilement expliciter la forme d'un élément d'une tribu. On est donc obligé de donner les "éléments de bases" pour cette tribu.
L'avantage de connaître une famille génératrice, c'est que beaucoup de propriétés sont vraies sur la tribu si et seulement si elle est vraie sur une famille génératrice (par exemple: vérifier qu'une application est mesurable)

Cordialement
L'avantage

[A voir en vidéo sur Futura]