suite de cauchy et suite convergente

[vince3001]

Bonjour,
J'ai des difficultés à rédiger correctement une réponse à une question. Je crois avoir compris, mais je n'arrive pas à rédiger qqchose de clair.
Voilà l'énoncé du problème :

Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé,
une suite d'éléments de E.
Soit la suite dite suite des sommes partielles définie par


1/MOntrer que si la suite est de Cauchy alors la suite tend vers 0 quand n tend vers l'infini

Admis

2/ La réciproque est-elle vraie en général ?
J'écris :
"Si tend vers 0 quand n tend vers l'infini
alors
Soit p<m<N



Donc la réciproque est fausse en général"

C'est pas super car je n'ai pas véritablement prouvé la négation de "Sn est une suite de Cauchy"...Mais je crois avoir senti le truc
Pourriez vous m'aiguiller pour améliorer cela ?

Merci beaucoup pour le temps que vous voudrez bien me consacrer
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[Thorin]

pour savoir si la réciproque est vraie en général, il suffit de trouver un contre exemple.

De plus, dans ton "raisonnement", tu prends des entiers inférieurs à N, alors que dans les suites de Cauchy, ce seraient les entiers supérieurs à N, et si l'on cherchait à nier le critère de cauchy dans le cas général, N ne devrait pas être fixé comme ça l'est ici.

De plus le fait que i soit inférieur à N n'entraine pas que , on peut simplement dire que si , alors, i est inférieur à N.

(PS : pour qu'il n'y ait pas de doute, la négation du critère de Cauchy est )

[vince3001]

pour savoir si la réciproque est vraie en général, il suffit de trouver un contre exemple.

De plus, dans ton "raisonnement", tu prends des entiers inférieurs à N, alors que dans les suites de Cauchy, ce seraient les entiers supérieurs à N, et si l'on cherchait à nier le critère de cauchy dans le cas général, N ne devrait pas être fixé comme ça l'est ici.

De plus le fait que i soit inférieur à N n'entraine pas que , on peut simplement dire que si , alors, i est inférieur à N.

(PS : pour qu'il n'y ait pas de doute, la négation du critère de Cauchy est )

Trouver un contre-exemple...je vais m'orienter sur cela alors, affaire à suivre
Merci

[vince3001]

Ne suffit-il pas de prendre (R,|.|)
ainsi que la suite ?
Cette suite tend vers 0
Mais d'après le critere de Riemann, la série des x_n diverge
Dc S_n n'est pas de Cauchy

[A voir en vidéo sur Futura]

[vince3001]

Ne suffit-il pas de prendre (R,|.|)
ainsi que la suite ?
Cette suite tend vers 0
Mais d'après le critere de Riemann, la série des x_n diverge
Dc S_n n'est pas de Cauchy

Faut-il préciser que (R,|.|) est complet ?