[definition] ?suite convergente limite d'une suite?

[invitefb652165]

Bonjour bonjour,

Une suite (X(1), x(2), x(3), ..., x(k), x(k+1), ... ) d'élément de R^n est dite convegente s'il existe x ∈ R^n tel que la condition suivante est satisfaite :
pout tout ε > 0, ∃ un naturel K tel que k ≥ K => || x(k) - x || < ε .
On dit alors que la suite (xk) converge vers x.

Je ne comprends pas tres bien cette définition j aimerais qu elle soit claire et bien assimilée pour moi afin de bien comprendre toute les propriétés et démonstrations qui en découle.

1) que représentent k , K , ε les uns par rapport aux autres ? ( est ce que ε > K ? )
2) Pourquoi pose t-on k ≥ K ?
3) Peut on faire un parallèle avec les boules ouvertes (selon moi oui vu la définition) et les boules fermées ( ce qui reviendrait à dire => || x(k) - x || ≤ ε selon moi mais je ne suis pas certain).

Une réponse sous forme de dessin serait vraiment coooooool mais j accepte toute réflexion afin que cette définition me soit familière.

Je vous remercie d avance
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[Flyingsquirrel]

Salut,

1) que représentent k , K , ε les uns par rapport aux autres ? ( est ce que ε > K ? )

est un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distance de inférieure à .

sert à formaliser l'idée que tous les termes de la suite suivant sont à une distance de inférieure à ; c'est exactement ce que signifie « ».

n'a a priori aucune raison d'être inférieur à . Par contre la valeur de peut dépendre de .

2) Pourquoi pose t-on k ≥ K ?

Est-ce que ce qui est écrit juste au-dessus répond à cette question ?

3) Peut on faire un parallèle avec les boules ouvertes (selon moi oui vu la définition) et les boules fermées ( ce qui reviendrait à dire => || x(k) - x || ≤ ε selon moi mais je ne suis pas certain).

Oui, on peut tout à fait interpréter la définition avec des boules ouvertes ou fermées.

[invitefb652165]

Merci beaucoup toutes mes questions ont une réponse (belle bijection -_- ) .
Si j ai bien compri plus on prend un K grand (et un ε petit vu qu'ils dépendent l un de l autre) , plus on se rapproche de x ? donc x = lim x(k) pour k tendant vers l infini peut résumer cette définition ?

Merci pour ces bonnes explications .

[invite57a1e779]

Si j ai bien compri plus on prend un K grand (et un ε petit vu qu'ils dépendent l un de l autre) , plus on se rapproche de x ? donc x = lim x(k) pour k tendant vers l infini peut résumer cette définition ?

C'est l'inverse : plus on prend ε petit pour se rapprocher dans la limite, plus il faudra prendre K grand, c'est-à-dire aller chercher des termes x(k) « plus loin » dans la suite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb652165]

Ok Merci,

J ai encore une question, lors dune démonstration mon prof utilise la notation suivante, K'' = max {K,K'} qu'est ce que cela signifie ?

thanks a lot

[invite57a1e779]

Cela tout simplement que l'on note le plus grand des deux entiers et ; ce qui évite d'avoir à distinguer deux cas :
1. si alors ...
2. si alors...

[invitefb652165]

Voila tout je vous remercie pour votre aide bon week end.