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[definition] ?suite convergente limite d'une suite?



  1. #1
    Big Bang Theory

    Question [definition] ?suite convergente limite d'une suite?


    ------

    Bonjour bonjour,

    Une suite (X(1), x(2), x(3), ..., x(k), x(k+1), ... ) d'élément de R^n est dite convegente s'il existe x ∈ R^n tel que la condition suivante est satisfaite :
    pout tout ε > 0, ∃ un naturel K tel que k ≥ K => || x(k) - x || < ε .
    On dit alors que la suite (xk) converge vers x.


    Je ne comprends pas tres bien cette définition j aimerais qu elle soit claire et bien assimilée pour moi afin de bien comprendre toute les propriétés et démonstrations qui en découle.

    1) que représentent k , K , ε les uns par rapport aux autres ? ( est ce que ε > K ? )
    2) Pourquoi pose t-on k ≥ K ?
    3) Peut on faire un parallèle avec les boules ouvertes (selon moi oui vu la définition) et les boules fermées ( ce qui reviendrait à dire => || x(k) - x || ≤ ε selon moi mais je ne suis pas certain).

    Une réponse sous forme de dessin serait vraiment coooooool mais j accepte toute réflexion afin que cette définition me soit familière.

    Je vous remercie d avance

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Salut,
    Citation Envoyé par Big Bang Theory Voir le message
    1) que représentent k , K , ε les uns par rapport aux autres ? ( est ce que ε > K ? )
    est un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distance de inférieure à .

    sert à formaliser l'idée que tous les termes de la suite suivant sont à une distance de inférieure à ; c'est exactement ce que signifie « ».

    n'a a priori aucune raison d'être inférieur à . Par contre la valeur de peut dépendre de .
    Citation Envoyé par Big Bang Theory Voir le message
    2) Pourquoi pose t-on k ≥ K ?
    Est-ce que ce qui est écrit juste au-dessus répond à cette question ?
    Citation Envoyé par Big Bang Theory Voir le message
    3) Peut on faire un parallèle avec les boules ouvertes (selon moi oui vu la définition) et les boules fermées ( ce qui reviendrait à dire => || x(k) - x || ≤ ε selon moi mais je ne suis pas certain).
    Oui, on peut tout à fait interpréter la définition avec des boules ouvertes ou fermées.

  4. #3
    Big Bang Theory

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Merci beaucoup toutes mes questions ont une réponse (belle bijection -_- ) .
    Si j ai bien compri plus on prend un K grand (et un ε petit vu qu'ils dépendent l un de l autre) , plus on se rapproche de x ? donc x = lim x(k) pour k tendant vers l infini peut résumer cette définition ?

    Merci pour ces bonnes explications .

  5. #4
    God's Breath

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Citation Envoyé par Big Bang Theory Voir le message
    Si j ai bien compri plus on prend un K grand (et un ε petit vu qu'ils dépendent l un de l autre) , plus on se rapproche de x ? donc x = lim x(k) pour k tendant vers l infini peut résumer cette définition ?
    C'est l'inverse : plus on prend ε petit pour se rapprocher dans la limite, plus il faudra prendre K grand, c'est-à-dire aller chercher des termes x(k) « plus loin » dans la suite.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #5
    Big Bang Theory

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Ok Merci,

    J ai encore une question, lors dune démonstration mon prof utilise la notation suivante, K'' = max {K,K'} qu'est ce que cela signifie ?

    thanks a lot

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Cela tout simplement que l'on note le plus grand des deux entiers et ; ce qui évite d'avoir à distinguer deux cas :
    1. si alors ...
    2. si alors...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. Publicité
  10. #7
    Big Bang Theory

    Re : [definition] ?suite convergente limite d'une suite?

    Voila tout je vous remercie pour votre aide bon week end.

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